18 立体几何-空间的平行关系（讲义）-2022-2023学年高教版（中职）数学高职考一轮复习

高职考一轮复习 课堂讲义 立体几何 空间的平行关系 【例题1】已知直线 和平面 ，那么能得出 的一个条件是 A．存在一条直线 ， 且 B．存在一条直线 ， 且 C．存在一个平面 ， 且 D．存在一个平面 ， 且 【练习1】已知直线 ，，平面 ，则以下三个命题： ①若 ，，则 ； ②若 ，，则 ； ③若 ，，则 ． 其中真命题的个数是 A． B． C． D． 【例题2】已知 ， 为两条不同的直线，， 为两个不同的平面，则下列结论中正确的是 A． ， B． ， C． ，， D． ， 【练习2】如图，已知 为四边形 外一点，， 分别为 ， 上 的点，若 ，则 A． B． C． D．以上均有可能 【例题3】已知 ， 是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面 与平面 平行的是 A．平面 内有一条直线与平面 平行 B．平面 内有两条直线与平面 平行 C．平面 内有一条直线与平面 内的一条直线平行 D．平面 与平面 不相交 【练习3】设 ， 为两个平面，则 的充要条件是 A． 内有无数条直线与 平行 B． 内有两条相交直线与 平行 C． ， 平行于同一条直线 D． ， 垂直于同一平面 【例题4】给出下列结论： ①平行于同一条直线的两条直线平行； ②平行于同一条直线的两个平面平行； ③平行于同一个平面的两条直线平行； ④平行于同一个平面的两个平面平行． 其中正确的个数是 A． B． C． D． 【练习4】类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论： ①垂直于同一个平面的两条直线互相平行； ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行； ③垂直于同一个平面的两个平面互相平行； ④垂直于同一条直线的两个平面互相平行． A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【例题5】如图，， 是正方形， 为 的中点． 求证：． 【练习5】在如图所示的几何体中 是任意三角形，，且 ，， 为 的中点，求证：． 【例题6】如图，经过正方体 的棱 作一平面交平面 于 ．求证：． 【练习6】如图所示，四边形 是平行四边形，点 是平面 外一点， 是 的中 点，在 上取一点 ，过 和 作平面 交平面 于 ．求证：． 【例题7】如图所示，四棱锥 的底面 为矩形，，， 分别为 ，， 的中点，求证：． 【练习7】如图，在正方体 中， 为底面 的中心，， 分别是 ， 的中点．求证：平面 ． 【例题8】如图，在三棱锥 中，，， 分别是 ，， 的中点， 是 上一点，连接 ， 是 与 的交点，连接 ，求证：． 【练习8】如图，在四棱柱 中，底面 为梯形，，平面 与 交于点 ．求证：． 答案 【例题1】C 【解析】在选项A，B，D中，均有可能 在平面 内，错误； 在C中，两平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，故C正确. 【练习1】A 【例题2】C 【解析】A中， 有可能在平面 内； B中，， 可能相交、平行或异面； C中，由线面平行的性质定理可知C正确； D中，， 有可能异面． 【练习2】B 【解析】因为 ，，， 所以 ． 显然 与 ， 均不平行． 【例题3】D 【解析】选项A、C不正确，因为两个平面可能相交； 选项B不正确，因为平面 内的这两条直线必须相交才能得到平面 与平面 平行； 选项D正确，因为两个平面（不重合）的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行． 【练习3】B 【解析】 内有无数条直线与 平行，则 与 相交或 ，故A不符合题意； 内有两条相交直线与 平行，则 ，故B符合题意； ， 平行于同一条直线，则 与 相交或 ，故C不符合题意； ， 垂直于同一平面，则 与 相交或 ，故D不符合题意． 【例题4】B 【解析】由线面平行的判定与性质可知： ①平行于同一条直线的两条直线平行是正确的； ②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，所以不正确； ③平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，所以不正确； ④平行于同一个平面的两个平面是相互平行的，所以正确． 【练习4】D 【解析】①正确．对于②，垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，也可能相交或异面，故不正确．对于③，垂直于同一个平面的两个平面不一定平行，也可能相交，故不正确．④正确． 【例题5】 【解析】连接 交 于 ，连接 ． 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 ， 因为 ，， 所以 ． 【练习5】 【解析】取 中点 ，连接 ，， 则由题意可知 ，，又 ， 故 ，且 ，所以四边形 为