07 （函数）-一元二次函数的图象与性质（讲义）-2022-2023学年高教版（中职）数学高职考一轮复习

高职考一轮复习 课堂讲义 函数 一元二次函数的图象与性质 【典例1】二次函数 的图象如图所示， 确定下列各式的正负： ， ， ． 【练习】（1）设 ，二次函数 的图象为 下列之一，则 的值为 ． （2）一次函数 与二次函数 在同一坐标系中的图象大致是 A． B．C． D． 【典例2】函数 在区间 上有最大值 ，最小值 ，则 ， ． 【练习2】二次函数 的最大值为 ，则 A． B． C． D． 【典例3】二次函数的图象过点 ，对称轴为 ，最小值为 ，则它的解析式为 ． 【练习3】已知二次函数 满足 ，． （1）求函数 的解析式； （2）当 时，求 的值域； 【典例4】已知抛物线与 轴交于 ， 两点，且过点 ，则函数解析式为 ． 【练习4】已知二次函数 与 轴的两个交点坐标为 和 且有最小值 ，则 ． 【典例5】已知二次函数 的图象与 轴交于点 ，且满足 ，． （1）求该二次函数的解析式； （2）已知函数在 上为增函数，求实数 的取值范围． 【练习5】已知二次函数 的图象过点 ，满足 ，且最小值是 ． （1）求 的解析式； （2）若 的两根为 ，，且 ，求 的取值范围． 【典例6】已知：函数 ，当 时，，当 时，． （1）求 ， 的值； （2）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围． 【练习6】已知二次函数 ． （1）若 的解集为 ，求实数 ， 的值； （2）已知 ，设 ， 是关于 的方程 的两根，且 ，求实数 的值． 【典例7】已知函数 ，，且 ，试求 的 表达式． 【练习7】函数 ，． （1）当 时，若 ，求实数 的值； （2）若 的解集是 ，求实数 ， 的值． 答案 【典例1】 ； ； 【解析】因为 ，，，所以 ，． 设 ，则 ． 【练习1】（1） 【解析】 ，其中 ， 当 时，，为一次函数， 无符合条件图象，则 ； 当 时，函数为开口向上的二次函数， 对称轴 ，没有符合条件的图象，则 不成立； 当 时，函数为开口向下的二次函数， 对称轴 ，由图知第三个图象符合条件， 此时，得 ，又 ，则 ． （2）C 【解析】若 ，则一次函数 为增函数，二次函数 的开口向上，故可排除A； 若 ，一次函数 为减函数，二次函数 的开口向下，故可排除D； 对于选项B，看直线可知 ，，从而 ．而二次函数的对称轴在 轴的右侧，故应排除B，因此选C． 【典例2】 ； 【解析】 ， 因为 ， 所以 在区间 上单调递增， 即 ，得 ，， 得 ． 【练习2】B 【解析】根据题意，二次函数 的最大值为 ，必有 ， 且 ，可解得 ． 【典例3】 【解析】依题意可设 ，又其图象过点 ， 所以 ，所以 ， 所以 ． 【练习3】（1）由题意可设 ， 因为 ， 所以 ， 解得 ， 所以 的解析式为 ． （2）当 时， 在 上为减函数， 在 上是增函数， 所以当 时，， 当 时，， 所以 的值域是 ． 【典例4】 【解析】因为二次函数图象交 轴于 ， 两点，且过点 ，设 ， 所以 ，所以 ． 所以所求函数解析式为：． 【练习4】 【解析】设函数的解析式为 ， 所以 ，由 ， 得 ，所以 ． 【典例5】（1）；（2）. 【解析】（1）因为二次函数为 的图象与 轴交于点 ，故 又因为函数 满足 ，故 由 得：，． 故二次函数的解析式为：． （2）因为函数在 上为增函数，且函数图象的对称轴为 ， 由二次函数的图象可知：，故 ． 【练习5】（1）；（2） 【解析】（1）由题意，二次函数图象的对称轴为 ，又最小值是 ， 则可设 ， 因为图象过点 ， 所以 ，解得 ， 故 ． （2）由 得 ， 若 的两根为 ，，则 ，解得 或 ， 且 ，， ， 因为 ， 所以 ， 即 ，即 ， 解得 ． 综上所述， 的取值范围是 ． 【典例6】（1），；（2）. 【解析】（1）由已知得，方程 的两个根为 ，， 则 即 解得 ，． （2）由已知得，不等式 的解集为 ， 则 ，解得 ， 故实数 的取值范围是 ． 【练习6】（1），；（2）． 【解析】（1）因为 的解集为 ， 所以 解得 ，， 所以实数 ， 的值分别为 ，． （2）因为 ， 所以 ， 当 时，由根与系数的关系可得 ，， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 当 时，，满足条件， 当 时，，此时 无解，所以不符合条件， 所以 ． 【典例7】