专题12 因式分解之分组分解法-【备考先锋必刷题】2022-2023学年八年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式x2﹣4y2+2x+4y．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1：x2﹣4y2+2x+4y ＝（x2﹣4y2）﹣（2x﹣4y）分成两组 ＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）分别分解 ＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． 例题分析 【例1】．因式分解：4﹣m2﹣9n2﹣6mn． 【例2】．分解因式：a2﹣b2﹣2b﹣1． 【例3】．分解因式：b2﹣4a2﹣1+4a． 【例4】．因式分解：x2+4y﹣1﹣4y2． 【例5】．分解因式：m2﹣2m+1﹣4n2． 【例6】．分解因式：x2+4y2﹣4xy﹣25． 变式训练 【变1】．因式分解：x2﹣2xy+y2﹣25． 【变2】．分解因式：a3﹣a2b﹣4a+4b． 【变3】．分解因式：a2+2ab﹣16+b2． 【变4】．因式分解：x2+4x﹣a2+4． 【变5】．分解因式：xy2﹣x﹣y2+1． 【变6】．分解因式：x3+2x2y﹣9x﹣18y． 【变7】．因式分解：1﹣a2﹣4b2+4ab． 【变8】．因式分解：x2+9xy+18y2﹣3x﹣9y． 1．因式分解：a2﹣6ab+9b2﹣16． 2．因式分解：2ac﹣6ad+bc﹣3bd． 3．因式分解：x2﹣y2+1﹣2x． 4．分解因式： （1）9a2（x﹣y）+y﹣x； （2）（x2﹣2xy+y2）+（﹣2x+2y）+1． 5．分解因式： （1）xy﹣x+y﹣1； （2）a（a﹣2b）+（b﹣1）（b+1）． 6．分解因式： （1）m2﹣n2+6n﹣9； （2）（x+2y）x2+6（x+2y）x﹣7x﹣14y． 7．因式分解：x3﹣2x2﹣5x+6． 8．分解因式：25﹣4x2+4xy﹣y2． 9．分解因式：a2﹣b2+2a2b﹣2ab2． 10．1﹣x2﹣y2+2xy． 11．分解因式：9﹣x2+2xy﹣y2． 12．分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y． 13．分解因式：2x3﹣2x2y+8y﹣8x． 14．因式分解：9﹣x2+2xy﹣y2． 15．因式分解：x3+3x2y﹣4x﹣12y． 16．分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2． 17．分解因式：a4+4b2c2﹣a2b2﹣4a2c2． 18．分解因式：x2﹣y2﹣2x﹣2y． 19．当m为何值时，多项式6x2+mxy﹣5y2﹣15x+38y﹣21可以分解为两个关于x，y的一次三项式的乘积？ 20．观察下列因式分解的过程： （1）x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式） ＝（x﹣y）（x+4） （2）a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c） （1）请仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： ①ad﹣ac﹣bd+bc ②x2﹣y2﹣6x+9 （2）请运用上述分解因式的方法，把多项式1+x+x（1+x）+x（1+x）2+…+x（1+x）n分解因式． 21．阅读下列材料： 提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下： x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）． 这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）有人说，无论x，y取何实数，代数式去x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由． 22．阅读下列材料： 一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法．如： 因式分解：am+bm+an+bn ＝（am