第三章 第二节 第5课时　利用导数研究函数的零点-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

[对应学生用书P290] [提升练] 1．已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R. (1)证明：ln x≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数． 解析　(1)证明　令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)， 则g(1)＝0， g′(x)＝－1＝， 可得x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减． ∴当x＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值， ∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x≤x－1. (2)f′(x)＝－2x＋a＝，x>0. 令－2x＋ax0＋1＝0， 解得x0＝(负值舍去)， 在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． ∴f(x)max＝f(x0). 当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0， 此时函数f(x)只有一个零点x＝1. 当a>1时，f(1)＝a－1>0， f＝ln －＋<－1－＋ ＝－－<0， f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2＝－2－<0. ∴函数f(x)在区间和区间(1，2a)上各有一个零点． 综上，可得当a＝1时，函数f(x)只有一个零点x＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点． 2．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e. (1)求a，b的值； (2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围． 解析　(1)f(x)＝ex(ax＋1)， 则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)， 由题意知解得 ∴a＝1，b＝3e. (2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m， 函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点， u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)， 当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0， ∴u(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0， ∴u(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e. 又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0， ∴实数m的取值范围为{m|－e<m<0}． [冲刺练] 3．已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1). (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． 解析　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0； 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2). (2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0在R上恒成立， 当且仅当x＝0时g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0， f(3a＋1)＝＞0，故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 4．已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0). (1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最大值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围． 解析　(1)由f(x)＝ex＋ax－a，得f′(x)＝ex＋a. ∵函数f(x)在x＝0处取得极值， ∴f′(0)＝e0＋a＝0，∴a＝－1， ∴f(x)＝ex－x＋1，f′(x)＝ex－1. ∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 易知f(x)在[－2，0)上单调递减，在(0，1]上单调递增， 且f(－2)＝＋3，f(1)＝e，f(－2)>f(1)， ∴f(x)在[－2，1]上的最大值是＋3. (2)f′(x)＝ex＋a. ①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上单调递增，且当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0， 当x<0时，取x＝－， 则f<1＋a＝－a<0， ∴函数f(x)存在零点，不满足题意． ②当a<0时，令f′(x)＝ex＋a＝0，则x＝ln (－a). 当x∈(－∞，ln (－a))时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(ln (－a)，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴当x＝ln