第三章 第二节 第2课时　导数与函数的极值、最值-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P310] [保分练] 1．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点，有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 解析　设f′(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1，x2，x3，x4，当x<x1时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当x1<x<x2时，f′(x)<0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点．同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点．故选C. 答案　C 2．函数y＝在[0，2]上的最大值是(　　) A． B． C．0 D． 解析　易知y′＝，x∈[0，2]，令y′>0，得0≤x<1，令y′<0，得1<x≤2，所以函数y＝在[0，1)上单调递增，在(1，2]上单调递减，所以y＝在[0，2]上的最大值是，故选A. 答案　A 3．若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在x＝1处取极值0，则a－b＝(　　) A．0 B．2 C．－2 D．1 解析　f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f(x)在x＝1处取极值0，所以解得验证当a＝－1，b＝－1时，f′(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)·(x－1)，易知x∈时，f′(x)<0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在x＝1处取得极值，符合题意．故a＝－1，b＝－1，则a－b＝0，故选A. 答案　A 4．设二次函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是(　　) 解析　由f(x)在x＝－2处取得极小值可知， 当x<－2时，f′(x)<0，则xf′(x)>0， 当－2<x<0时，f′(x)>0，则xf′(x)<0； 当x>0时，f′(x)>0，则xf′(x)>0. 故选C. 答案　C 5．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则(　　) A．0<b<1 B．b<1 C．b>0 D．b< 解析　f(x)在(0，1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上先负后正， ∴f′(0)＝－3b<0，且f′(1)＝3－3b>0. ∴b>0且b<1. 综上，b的取值范围为0<b<1. 答案　A 6．函数f(x)＝2x－ln x的最小值为________． 解析　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝2－＝，当0<x<时，f′(x)<0； 当x>时，f′(x)>0. ∴f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴f(x)min＝f＝1－ln ＝1＋ln 2. 答案　1＋ln 2 7．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(－1)＝0，当x>0时，2f(x)>xf′(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________． 解析　构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1，0)∪(0，1). 答案　(－1，0)∪(0，1) 8．若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________． 解析　令f(x)＝2x3－ax2＋1＝0⇒a＝2x＋. 令g(x)＝2x＋(x>0)，g′(x)＝2－，令g(x)＝2－>0，解得x>1，令g′(x)＝2－<0，解得0<x<1. ∴g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∵函数g(x)在(0，＋∞)内有唯一零点， ∴a＝g(1)＝2＋1＝3⇒f(x)＝2x3－3x2＋1. 求导可知在[－1，1]上，f(x)min＝f(－1)＝－4， f(x)max＝f(0)＝1，∴f(x)min＋f(x)max＝－3. 答案　－3 9．设函数f(x)＝a ln x－bx2，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切． (1)求实数a，b的值； (2)求函数f(x)在上的最大值． 解析　(1)f′(x)＝－2bx，x>0， ∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切， ∴解得 (2)由(1)知，f(x)＝ln x－x2，x>0， f′(x)＝－x＝， 当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1， 令f′(x)<0，得1<x≤e， ∴f(x)在上单调递增， 在(1，e]上单调递减， ∴