第七章 第三节　基本不等式-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P350] [保分练] 1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列各式不正确的是(　　) A．a2＋b2≥ B．2a－b> C．log2a＋log2b≥－2 D．＋≤ 解析　对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝22＋≥， 当且仅当a＝b＝时，等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确； 对于C，log2a＋log2b＝log2(ab)≤log22＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2， 所以＋≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故D正确．故选C. 答案　C 2．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则的最小值为(　　) A. B．4 C. D．2 解析　∵4＝2a＋b≥2，∴ab≤2，≥，当且仅当a＝1，b＝2时取等号． 答案　C 3．若x<0，则函数y＝x2＋－x－的最小值是(　　) A．－ B．0 C．2 D．4 解析　y＝x2＋－x－≥2＋2＝4，当且仅当x＝－1时取等号． 答案　D 4．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　) A．6＋2 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4 解析　法一　因为log4(3a＋4b)＝log2， 所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且 即a>0，b>0，所以＋＝1(a>0，b>0)，a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号，选择D项． 法二　∵3a＋4b>0，ab>0，∴a>0，b>0，∵log4(3a＋4b)＝log2，∴log4(3a＋4b)＝log4(ab)．∴3a＋4b＝ab，a≠4，a>0，b>0，∴b＝>0，∴a>4，则a＋b＝a＋＝a＋＝a＋3＋＝(a－4)＋＋7≥2＋7＝4＋7，当且仅当a＝4＋2时取等号．故选D. 答案　D 5．已知正数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为(　　) A. B．＋1 C. D．＋1 解析　∵(＋)2＝a＋b＋1＋2·≤a＋b＋1＋a＋b＋1＝6，当且仅当a＝b＋1，即a＝，b＝时取等号，∴＋≤.故选C. 答案　C 6．(1)当x>1时，x＋的最小值为________； (2)当x≥4时，x＋的最值为________． 解析　(1)∵x>1，∴x－1>0. ∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝5. ∴x＋的最小值为5. (2)∵x≥4，∴x－1≥3. ∵函数y＝x＋在[3，＋∞)上为增函数， ∴当x－1＝3时，y＝(x－1)＋＋1有最小值. 答案　(1)5　(2) 7．已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 解析　∵a>0，b>0，∴a＋b>0，又ab＝1，∴＋＋＝＋＝＋≥2＝4，当且仅当a＋b＝4时取等号， 结合ab＝1，解得a＝2－，b＝2＋，或a＝2＋，b＝2－时，等号成立． 答案　4 8．已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________． 解析　∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝， ∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝， 当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号． ∴x2＋y2的最小值为. 答案　 9．已知a>b>0，求a2＋的最小值． 解析　∵a>b>0，∴a－b>0. ∴b(a－b)≤2＝. ∴a2＋≥a2＋≥2＝16. 当a2＝且b＝a－b，即a＝2，b＝时等号成立． ∴a2＋的最小值为16. 10．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解析　(1)∵xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，即xy≥64， 当且仅当2x＝8y，即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝，即x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. [提升练] 11．已知当x<0时，2x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．[2，＋∞) B．(－∞，2] C．(－2，＋∞) D．(－∞，2) 解析　由2x2－mx＋1>0，得mx<2x2＋1.因为x<0，所以m>＝2x＋，而2x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当2|x|＝，即x＝－时取等号．所以m>－2.故选C. 答案　C 12．设a>b>0，则a2＋＋的最小值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　∵a>b>0，∴a－b>0， ∴a(a－b)>0，a2＋＋ ＝a2＋ab－ab＋＋ ＝a2－ab＋＋ab＋ ＝a(a－b)＋＋ab＋≥2＋2＝4， 当且仅当 即a＝，b＝时等号成立． ∴a2＋＋的最小值是4. 答案　D 13．若a