第六章 第一节　数列的概念及简单表示-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P336] [保分练] 1．已知数列1，2，，，，…，则2在这个数列中的项数是(　　) A．16 B．24 C．26 D．28 解析　因为a1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，解得n＝26. 答案　C 2．(2022·潍坊一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足Sn＝n2＋4n＋1，则a1＋a3＋a5＝(　　) A．27 B．28 C．29 D．30 解析　因为Sn＝n2＋4n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝6，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3.经检验，当n＝1时不符合，所以an＝所以a1＋a3＋a5＝28.故选B. 答案　B 3．若数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋1＝(2n－λ)an(n＝1，2，…)，则a3等于(　　) A．5 B．9 C．10 D．15 解析　令n＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由an＋1＝(2n＋1)an，得a3＝5a2＝5×3＝15.故选D. 答案　D 4．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则S5＝(　　) A．31 B．42 C．37 D．47 解析　由题意，得Sn＋1－Sn＝Sn＋1(n∈N*)，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)(n∈N*)，又S1＋1＝3，故数列{Sn＋1}是首项为3，公比为2的等比数列，则S5＋1＝3×24，所以S5＝47. 答案　D 5．已知递增数列{an}，an≥0，a1＝0.对于任意的正整数n，不等式t2－a－3t－3an≤0恒成立，则正数t的最大值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．6 解析　因为数列{an}是递增数列，又t2－a－3t－3an＝(t－an－3)(t＋an)≤0，t＋an>0，所以t≤an＋3恒成立，即t≤(an＋3)min＝a1＋3＝3，所以tmax＝3. 答案　C 6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1(n∈N*)，则an＝________． 解析　当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1， 又a1＝2≠2×1－1， 故an＝ 答案　 7．数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________． 解析　∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2， 得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0， 令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2， 则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1. 答案　－1 8．已知数列{an}的通项公式an＝，若a1·a2·…·an≤a1·a2·…·ak对n∈N*恒成立，则正整数k的值为________． 解析　an＝，当n≤5时，an>1；当n≥6时，an<1， 由题意知，a1·a2·…·ak是{an}的前n项乘积的最大值，所以k＝5. 答案　5 9．已知在数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通项公式． 解析　(1)由S2＝a2，得3(a1＋a2)＝4a2， 解得a2＝3a1＝3； 由S3＝a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3， 解得a3＝(a1＋a2)＝6. (2)由题设知a1＝1. 当n>1时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1， 整理，得an＝an－1， 于是a1＝1，a2＝a1，a3＝a2，…， an－1＝an－2，an＝an－1， 将以上n个等式两端分别相乘，整理，得an＝，经检验n＝1时，也满足上式． 综上，{an}的通项公式an＝. 10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4. (1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值； (2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围． 解析　(1)由n2－5n＋4<0，解得1<n<4. 因为n∈N*，所以n＝2，3， 所以数列中有两项是负数，即为a2，a3. 因为an＝n2－5n＋4＝－， 由二次函数性质，得当n＝2或n＝3时，an有最小值，其最小值为a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an， 得(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4， 整理，得k>－2n－1， 所以k>(－2n－1)max， 又n∈N*， 故k>－2－1＝－3， 所以实数k的取值范围为(－3，＋∞). [提升练] 11．设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，则S1＋S3＋S5＝(　　) A．0 B． C． D． 解析　数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝(－1)nan＋，当n为偶数时，Sn＝Sn