专题02 整式的乘法与平方差公式-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）整式的乘法 1、单项式与单项式相乘法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数保持不变，作为积的因式。 2、单项式与多项式相乘法则：根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下： 都是单项式） 3、多项式与多项式相乘法则：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。公式如下：都是单项式） （二）平方差公式 1、平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 公式的推导：。平方差公式的逆用即 平方差公式的特点： （1）左边是两个二项式的积，，在这两个二项式中，有一项（a）完全相同，另一项（b和-b）互为相反数。 （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去符号相反项的平方） （3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式和多项式。 2、平方差公式的几何意义 如图两幅图中，阴影部分的面积相等，第一个图的阴影部分的 面积是：a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积是：（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） 平方差公式的几何意义还有很多，有兴趣的同学可以钻研一下。 3、平方差公式的应用。平方差公式一般运用在化简求值，找规律简便计算中等。会涉及到平方差公式的逆用。 例题分析 考点1 单项式乘法运算 【例1】．先化简．再求值：（﹣2a2b3）•（﹣ab2）2+（﹣a2b3）2•4b，其中a＝2，b＝1． 变式训练 【变1-1】．若单项式﹣8xay和x2yb的积为﹣2x5y6，则ab的值为（　　） A．2 B．30 C．﹣15 D．15 【变1-2】．计算：a2b4•（﹣ab）2+a•（﹣2ab2）3． 【变1-3】．已知9an﹣6b﹣2﹣n与﹣2a3m+1b2n的积与25a4b是同类项，求m﹣n的值． 【变1-4】．先化简，再求值：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a＝﹣2． 【变1-5】．代数式yz（xz+2）﹣2y（3xz2+z+x）+5xyz2的值（　　） A．只与x，y有关 B．只与y，z有关 C．与x，y，z都无关 D．与x，y，z都有关 考点2 单项式与多项式乘法运算 【例2】．若a2﹣3a﹣1＝0，则a（a﹣3）+2＝　 　． 变式训练 【变2-1】．当m、n为何值时，x[x（x+m）+nx（x+1）+m]的展开式中，不含有x2和x3的项？ 【变2-2】．某同学在计算一个多项式乘3x2时，因抄错运算符号，算成了减去3x2，得到的结果是x2﹣4x+1，那么正确的计算结果是多少？ 考点3 多项式与多项式乘法运算 【例3】．先化简再求值：（a﹣2b）（a2+2ab+4b2）﹣a（a﹣5b）（a+3b），其中a＝1，b＝2． 变式训练 【变3-1】．（a+x）（a+3）的展开式中不含字母a的一次项，则x的值是（　　） A．3 B．﹣3 C． D．﹣ 【变3-2】．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝　 ． 【变3-3】．如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要 　 　张C类卡片． 【变3-4】．已知（x+a）（x2﹣x+c）的积中不含x2项与x项，求（x﹣a）（x2+x+c）的值是多少？ 考点4 平方差公式 【例4】．已知：x2﹣y2＝12，x+y＝3，求2x2﹣2xy的值． 变式训练 【变4-1】．若（2m+5）（2m﹣5）＝15，则m2＝　 　． 【变4-2】．在下列代数：①（x﹣y）（x+y），②（3a+bc）（﹣bc﹣3a），③（3﹣x+y）（3+x+y），④（﹣100m+n）（m﹣100n）．能用平方差公式计算的是　 　（填序号）． 【变4-3】．探索发现： （1）计算下列各式： ①（x﹣1）（x+1）； ②（x﹣1）（x2+x+1）； ③（x﹣1）（x3+x2+x+1）． （2）观察你所得到的结果，你发现了什么规律？并根据你的结论填空： （x﹣1）（xn+xn﹣1+xn﹣2+…+x+1）＝　 　（n为正整数）． 【变4-4】．阅读下列材料： 已知实数m，n满足（2m2+n2+1）（2m2+n2﹣1）＝80，试求2m2+n2的值． 解：设2m2+n2＝t，则原方程变为（t+1）（t﹣1）＝80， 整理得t2﹣1＝80，t2＝81， ∴t＝±9， ∵2m2+n2≥0， ∴2m2+n2＝9． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则