第四章 因式分解（提升版）-2022-2023学年八年级数学下学期期中期末知识梳理与题型归纳（北师大版）

第四章 因式分解 若多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，则的值为　　 A．1 B．5 C． D． 【解答】解：多项式能分解成两个一次因式的积，且其中一个次因式，． ． ． 故选． 计算的值是　　 A． B． C． D． 【解答】 ， 故选：． 在中，若三边长，，满足，，的周长是　　 A．12 B．16 C．8 D．6 【解答】解：， ． ． ． ． 故选：． 已知，，，都是正数，如果，，那么，的大小关系是　　 A． B． C． D．不确定 【解答】解：设，， ，，，都是正数， ， 则， ， ， 而， ， ． 故选． 若实数、满足，则的最小值为　　 A． B． C．1 D．3 【解答】解：， ，， ，， ， 又，， 当，即时，原式有最小值为， 故选：． 已知，那么的值为　　 A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【解答】解：， ． 故选：． 已知，则　　． 【解答】解：因为，等式变形后， 把代数式变形后 把代入上式，得 原式 故题目答案： 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称这个正整数为智慧数．如，，则16是一个智慧数，5和3称为16的一对智慧分解数．则2019的智慧分解数有 　338和335，10010和1009　． 【解答】解：设． 其中，是正整数，且． ， 或． 或． 的智慧分解数有338和335及1010和1009 故答案为：338和335及1010和1009 计算：　2016　． 【解答】解：，，，， 将计算式依次分组，每4个数为一组， 即， ， ， ， 每组都等于4， ， 故答案为：2016 如果，则　　． 【解答】解：， ， ，，即，， 则 ． 故答案是：． 乘法公式的探究及应用． （1）如图1，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，如图2，通过比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到整式乘法公式：　　； （2）可以被10和20之间某两个整数整除，则这两个数分别为 　　． （3）计算：． 【解答】解：（1）在图1中，阴影部分的面积是大正方形的面积小正方形的面积，即， 图2中阴影部分是矩形其面积是， 所以得到乘法公式； 故答案为： （2） ， 所以可以被10和20之间15和17两个数整除； 故答案为15，17 （3）原式 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）分解因式：　　； （2）求代数式的最小值； （3）若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （4）当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 【解答】解：（1）． 故答案为：． （2）； 的最小值是3 故答案为；3 （3）， ， ， 当的时候，有最小值． 故答案为：若，当时，有最 小值（填“大”或“小” ，这个值是． ， ， ， 三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于 ，，， 得，，，． 是直角三角形． 故答案为：是直角三角形． 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”，例如：，，；则8、16、24这三个数都是奇特数． （1）填空：32 　是　奇特数，2022 　　奇特数．（填“是”或者“不是” （2）设两个连续奇数是和（其中取正整数），由这两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数吗？为什么？ 【解答】解：（1）假设存在两个连续奇数、为自然数），则 ， 时， ， 两个连续奇数是9、7，32是奇特数． 时， ，不存在这样的自然数，也就不存在符合条件的两个连续奇数， 不是奇特数． 故答案为：32 是奇特数，2022 不是奇特数．（填“是”或者“不是” （2）由（1）的结果可知任何一个奇特数可以表示成为自然数），显然是8的倍数． 故答案为：两个连续奇数构造的奇特数是8的倍数． 请阅读下列材料，并完成相应的任务： （1）探究发现： 小明计算下面几个题目： ①；②；③；④后发现，形如的两个多项式相乘，计算结果具有一定的规律，请你帮助小明完善发现的规律：　　　　　　． （2）面积说明： 上面规律是否正确呢？小明利用多项式乘法法则计算发现这个规律是正确的，小明记得学习乘法公式时，除利用多项式乘法法则可以证明公式外，还可以利用图形面积说明乘法公式，于是画出如图，说明他发现的规律． （3）逆用规律： 学过因式分解