专题05 数列通项公式与求和-【中职专用】中职高考数学二轮复习专项突破（安徽适用）

专题五 数列通项公式与求和 知识点一 一、数列的定义、公式、性质 等差数列 等比数列 定义 ＝常数=公差d ＝常数=公比q 通项公式 判定方法 (1)定义法：＝常数 (2)中项公式法：⇔为等差数列； (3)通项公式法：(为常数,)⇔ 为等差数列； (4)前n项和公式法：(为常数, )⇔ 为等差数列； (5) 为正项等比数列，则数列 (，且)为等差数列 (1)定义法：＝常数 (2)中项公式法： ()⇔ 为等比数列 (3)通项公式法： (均是不为0的常数，)⇔为等比数列 (4)前项和法： (k、q均是不为0的常数，)⇔为等比数列。 (5) 为等差数列⇔为等比数列. 性质 (1)若，，，，且，则，推广：2= (2) ， (3) ，…仍成等差数列 (1)若，，，，且，则，推广： (2) ， ， (3)等比数列依次每项和()，即 ，…仍成等比数列 前n项和 时，；当时，或. 知识点二 数列的单调性与周期性 1、解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列． 若数列递增，则am -am-1>0; 若数列递增减，则am -am-1<0; 等差数列的公差 d > 0 时，数列为递增数列；d < 0 时，数列为递减数列； d = 0时，数列为常数列； (2)用作商比较法，根据 (an＞0或an＜0)与1的大小关系进行判断． 当，=q>1, 或，0<=q<1时，等比数列是递增数列；当，0<=q<1或，=q>1时，等比数列是递减数列；=q<0时, 等比数列是摆动数列； (3)结合相应函数的图象直观判断． 2、解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 知识点三 数列的最值 1、求数列最大项或最小项的方法 (1)利用不等式组(n≥2)找到数列的最大项； (2)利用不等式组(n≥2)找到数列的最小项． 2、前项和最值的求法 (1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；比如：求等差数列的前n项和的最值：因为等差数列前n项和(为常数, )为二次函数，通过配方法求最值或借助图像，利用二次函数的性质或数列的单调性（,递增；，递减）求最值； (2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值. (3)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当，时，有最大值；，时，有最小值；若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，(2)当，时，满足的项数使得取最小值. (4)利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有；求最小项的方法：设为最小项，则有. 只需将等差数列的前n项和依次看成数列，利用数列中最大项和最小项的求法即可. 3、前n项积的最值的求法 当0<a1<1，时，等比数列前n项积有最小值，满足的项数n使得等比数列前n项积有取最小值；当a1>1，时，满足的项数n使得等比数列前n项积有最大值. 4、在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用. 知识点四 方程思想的应用 1、等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个，即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题。 2、特殊设法：三个数成等差数列，一般设为；四个数成等差数列，一般设为，这样运算很方便. 3、数列文化类或阅读理解类的题：通常都是正项数列，设成递增的等差或等比数列计算方便些. 知识点五 等差数列的常用性质 1、通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N＋)． 2、若{an}为等差数列，m，n，p，q，r，k∈N*, 若m+n=p+q则 , 若，则有；， . 若，A，b 三项成等差数列，则：A= （中项公式）， 推广：2=. 3、若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. 4、若{an}，{bn}是等差数列， 为{an}前项和，Tn为{bn}前项和，则, {pan＋qbn}也是等差数列, =. 5、若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差md的等差数列． 数列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍是等差数列，公差是k2d. 6、为等差数列，为其前项和，则, ⑴若等差数列的项数为，有①； ② ； ⑵若等差数列的项数为奇数2-1，则①，②. (中间项)； ③ ⑶若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 7、等差数列的前n项和的最值 ⑴若，有最大值，可由不等式来确定 ⑵若，有最小值，可由不等式来确定 ⑶也可由等差数列前n项和(为常数, )配成顶点式求最值或由二次函数的单调性