8.2.1 一元线性回归模型-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教A版2019选择性必修第三册）

直线 8.2.1 一元线性回归模型 复习导入 通过前面的学习，我们已经了解到，根据成对样本数据的散点图和样本相关系数，可以推断两个变量是否存在相关关系、是正相关还是负相关，以及线性相关程度的强弱等.进一步地，如果能像建立函数模型刻画两个变量之间的确定性关系那样，通过建立适当的模型刻画两个随机变量的相关关系，那么我们就可以利用这个模型研究两个变量之间的随机关系，并通过模型进行预测. 下面我们研究当两个变量线性相关时，如何利用成对样本数据建立统计模型，并利用模型进行预测的问题. 新知探索 生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关，即父亲的身高较高时，儿子的身高通常也较高.为了进一步研究两者之间的关系，有人调查了14名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示. 利用前面表示数据的方法，以横轴表示父亲身高、纵轴表示儿子身高建立直角坐标系，再将表中的成对样本数据表示为散点图，如图所示.可以发现，散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明儿子身高和父亲身高线性相关.利用统计软件，求得样本相关系数为表明儿子身高和父亲身高正线性相关，且相关程度较高. 新知探索 思考1：根据上表中的数据，儿子身高和父亲身高这两个变量之间的关系可以用函数模型刻画吗？ 在表的数据中，存在父亲身高相同，而儿子身高不同的情况.例如，第6个和第8个观测的父亲身高均为172，而对应的儿子身高分别为176和174；同样，第3，4两个观测中，儿子身高都是170，而父亲身高分别为173和169.可见儿子身高和父亲身高之间不是函数关系，也就不能用函数模型刻画. 新知探索 图中的散点大致分布在一条直线附近，表明儿子身高和父亲身高这两个变量之间有较强的线性相关关系，因此我们可以用一次函数来刻画父亲身高对儿子身高的影响，而把影响儿子身高的其他因素，如母亲身高、生活环境、饮食习惯等作为随机误差，得到刻画两个变量之间关系的线性回归模型.其中，随机误差是一个随机变量. 新知探索 用表示父亲身高，表示儿子身高，表示随机误差.假定随机误差的均值为，方差为与父亲身高无关的定值，则它们之间的关系可以表示为 (1) 我们称(1)式为关于的一元线性回归模型.其中，称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差.模型中的也是随机变量，其值虽然不能由变量的值确定，但是却能表示为与的和(叠加)，前一部分由所确定，后一部分是随机的.如果，那么与之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 新知探索 对于父亲身高和儿子身高的一元线性回归模型(1)，可以解释为父亲身高为的所有男大学生的身高组成一个子总体，该子总体的均值为，即该子总体的均值与父亲身高是线性函数关系.而对于父亲身高为的某一名男大学生，他的身高并不一定为，它仅是该子总体的一个观测值，这个观测值与均值有一个误差项. 思考2：你能结合具体实例解释产生模型(1)中随机误差项的原因吗？ 在研究儿子身高与父亲身高的关系时，产生随机误差的原因有： (1)除父亲身高外，其他可能影响儿子身高的因素，比如母亲身高、生活环境、饮食习惯和锻炼时间等； (2)在测量身高时，由于测量工具、测量精度所产生的测量误差； (3)实际问题中，我们不知道儿子身高和父亲身高的相关关系是什么，可以利用一元线性回归模型来近似这种关系，这种近似也是产生随机误差的原因. 新知探索 辨析1.判断正误. 在一元线性回归模型中，是预报真实值的随机误差，它是一个可观测的量.( ) 答案：×. 辨析2.[多选]在如图所示的四个散点图，适合用一元线性回归模型拟合其中两个变量的是( ). 答案：AC. 课堂小结 1.一元线性回归模型: 我们称 为关于的一元线性回归模型.其中，称为因变量或响应变量，称为自变量或解释变量；和为模型的未知参数，称为截距参数，称为斜率参数；是与之间的随机误差. 如果，那么与之间的关系就可用一元线性函数模型来描述. 作业 (1)整理本节课的题型； (2)课本P107的练习1——3题. $