第九章 高考增分策略(13)-（课件）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

高考增分策略(13) 活用抛物线焦点弦的四个结论 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 谢谢观看 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(文) 1 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝eq \f(p2,4). (2)y1·y2＝－p2. (3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)． (4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)． 　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　) A．4 B．eq \f(9,2) C．5 D．6 [一般解法]　易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)． 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 得xA·xB＝1，　① 因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)， 即xA＝2xB＋1，　② 由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2). [用结论]　法一　由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E， 设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m， 由抛物线的定义知 |AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m， 所以cos θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2). 则sin2 θ＝8cos2θ， ∴sin2θ＝eq \f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2). 法二　因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1， 解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3， 故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2). [答案]　B 　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　) A．5 B．6 C．eq \f(16,3) D．eq \f(20,3) [一般解法]　如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4，由F是AC的中点，知|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq \r(3)，所以A(3,2eq \r(3))， 又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，代入抛物线方程y2＝4x得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).故选C. [应用结论]　法一　设A(x1，y1)，B(x1，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3). 法二　因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3). [答案]　C $