第八章 情境创新命题(5)-（课件）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

情境创新命题(5) 智育为核 提升能力 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 谢谢观看 返回目录 情境创新命题 高考总复习·数学(理) 1 　攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．以如图所示的建筑物为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个四棱锥，若此正四棱锥的侧而积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为(　　) A.eq \f(\r(3),3) B．eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(2),2) D．eq \r(3) [解析]　设正四棱锥的底边为a，斜高为h，则底面积为a2，所以该正四棱锥的侧面积为3a2， 则2ah＝3a2，所以h＝eq \f(3,2)a.　① 设该正四棱锥的内切球的半径为r，作出示意图，如图所示，其中E，F分别为AB，CD的中点，H为底面的中心，PF与球O相切于点G. 易知△OGP与△FHP相似，所以有eq \f(OG,HF)＝eq \f(PO,PF)， 所以eq \f(r,\f(a,2))＝eq \f(\r(h2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)－r,h).　② 联立①②，得r＝eq \f(\r(2)a,4)，所以eq \f(r,a)＝eq \f(\r(2),4)， 则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为eq \f(\r(2),4)，故选B. [答案]　B [点评]　本题以“攒尖”为背景，考查正四棱锥内切球等知识，体现了智育的素养导向．破解关键：盯“题眼”和细“观图”，会利用所给的实物的特征及题目中的“题眼”，如本例，从题眼“正四棱锥的侧面积是底面积的3倍”，求出正四棱锥的底面边长和斜高的关系式，再利用三角形的相似关系，即可得该正四棱锥的内切球的半径与该正四棱锥的底面边长的关系． 　石雕工艺承载着几千年的中华传统文化，随着科技的发展，机器雕刻的产品越来越多．某石雕厂计划利用一个圆柱形的石材(如图1)雕刻制作一件工艺品(如图2)，该工艺品的上方是一个球体，下方是一个长方体．经测量，圆柱形石材的底面半径为3米，高为10米，制作要求如下：首先需将石材切割为体积相等的两部分(分别称为圆柱A和圆柱B)，要求切面与原石材的上、下底面平行(不考虑损耗)，然后将圆柱A切割、打磨为一个球体，将圆柱B切割、打磨为一个长方体．则加工打磨后所得工艺品的体积的最大值为________立方米． [解析]　记圆柱形石材的底面半径和高分别为r米和h米，则r＝3，h＝10，因为圆柱A和圆柱B的体积一样大，所以它们的高一样，记为h′米，则h′＝5.要使工艺品的体积最大，则上方的球与下方的长方体的体积需同时取得最大值． 设由圆柱A打磨成的球体半径为R米， 则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2R≤2r，,2R≤h′，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(R≤3，,R≤\f(5,2)，))所以R≤eq \f(5,2)， 故当R＝eq \f(5,2)时，球的体积取得最大值， 此时球体体积V1＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3＝eq \f(125π,6)(米3)． 设下方的长方体底面的长和宽分别为a米、b米， 要使长方体的体积最大，长方体的高需与圆柱B的高相等， 此时其体积V2＝abh′＝ab×5＝5ab(米3)． 因为长方体为圆柱B的内接长方体，即长方体的底面是圆柱底面的内接长方形，所以长方形的对角线长等于圆柱底面的直径，即a2＋b2＝(2r)2＝36， 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，即ab≤eq \f(a2＋b2,2)＝18， 当且仅当a＝b＝3eq \r(2)时取等号， 所以长方体体积的最大值为V2＝18×5＝90(米3)， 所以所得工艺品的体积的最大值为V＝V1＋V2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(125π,6)＋90))(米