第5章 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第五章　平面向量、复数 第2讲　平面向量基本定理及坐标表示 ⁠ 1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. ⁠ [对应学生用书P101] 1.平面向量基本定理 条件 e1，e2是同一平面内的两个⁠⁠　不共线向量　⁠ 结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使⁠⁠　a＝λ1e1＋λ2e2　⁠ 基底 若e1，e2不共线，把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底 不共线向量　 a＝λ1e1＋ λ2e2　 2.平面向量的坐标运算 （1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a＋b＝⁠⁠　（x1＋x2，y1＋y2）　⁠，a－b＝⁠⁠　（x1－x2，y1－y2）　⁠，λa＝⁠⁠　（λx1，λy1）　⁠，｜a｜＝⁠⁠　⁠. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设A（x1，y1），B（x2，y2），则＝⁠⁠　（x2－x1，y2－y1）　⁠，｜｜＝⁠⁠　⁠. （x1＋x2，y1＋y2）　 （x1－x2，y1－y2）　 （λx1，λy1）　 　 （x2－x1，y2－y1）　 　 3.平面向量共线的坐标表示 设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a∥b⇔⁠⁠x1y2－x2y1＝0　⁠. x1y2－x2y1＝0　 ⁠⁠ 1.设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. 2.已知△ABC的顶点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则△ABC的重心G的坐标为. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）平面内的任意两个向量都可以作为一组基底. （　　） 答案　（1）×　 （2）若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2. （　　） 答案　（2）√　 （3）平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变. （　　） 答案　（3）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第二册P31例7改编）已知向量a＝，b＝，且a∥b，则m＝（　　） A.－ B. C.－ D. 解析　因为向量a＝，b＝，且a∥b，则2m＝1×，所以m＝－. 答案　A 3.（人A必修第二册P30例5改编）设点A（2，0），B（4，2），若点P在直线AB上，且＝2，则点P的坐标为 （　　） A.（3，1） B.（1，－1） C.（3，－1）或（－1，1） D.（3，1）或（1，－1） 解析　∵A（2，0），B（4，2），∴＝（2，2）. ∵点P在直线AB上，且｜｜＝2｜｜，∴＝2或＝－2， 故＝（1，1）或＝（－1，－1），故点P的坐标为（3，1）或（1，－1），故选D. 答案　D ｜易错自纠｜ 4.（向量坐标不清致误）若向量＝，＝，则＝ （　　） A. B. C. D. 解析　因为向量＝，＝，所以＝＋＝，故选B. 答案　B 5.（平面向量基本定理应用不清致误）如图所示，在△OAB中，C是AB中点，设＝a，＝b，则＝ 　　　　⁠.（请用a，b表示）  解析　因为C是AB中点，所以＝＋＝＋. 又因为＝－，所以＝＋（－）＝＋，即＝（a＋b）. 答案　（a＋b） ⁠ [对应学生用书P102] 考点1　平面向量基本定理的应用（师生共研） [例1]　（1）（2022·新高考Ⅰ卷T3）在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则＝ （　　） A.3m－2n B.－2m＋3n C.3m＋2n D.2m＋3n 解析　因为点D在边AB上，BD＝2DA，所以＝2，即－＝2， 所以＝3－2＝3n－2m＝－2m＋3n. 答案　B （2）（2023·河南商丘·三模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若＝x＋y，则3x＋y＝（　　） A.－1 B.－ C.－ D.－ 解析　连接DE， 由题意可知，＝＝，所以DE∥AC，则＝＝， 所以＝＝，所以＝－，＝－＝－， 则＝＝－， 故＝＋＝－＋－＝－＋. 又＝x＋y，所以x＝－，y＝，则3x＋y＝－1. 答案　A ⁠ （1）应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系. （2）用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 变式训练