第1章 自主培优1 突破双变量“存在性或任意性”问题-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 自主培优1　突破双变量“存在性或任意性”问题 对应学生用书P8 　　解决双变量“存在性或任意性”问题的总原则是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系）. 类型一　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g（x2）＝f（x1）成立” [典例1]　已知函数f（x）＝x2－x＋1，x∈[1，2]，函数g（x）＝ax－1，x∈[－1，1]，对于任意x1∈[1，2]，总存在x2∈[－1，1]，使得g（x2）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是 （　　） A.（－∞，－4] B.[4，＋∞） C.（－∞，－4]∪[4，＋∞） D.（－∞，－4）∪（4，＋∞） 解析　因为f（x）＝x2－x＋1在[1，2]上为增函数，所以f（x）的值域为[1，3]，记为A＝[1，3].当a＞0时，g（x）在[－1，1]上为增函数，所以g（x）的值域为[－a－1，a－1]，记为B＝[－a－1，a－1]，当a＜0时，g（x）在[－1，1]上为减函数， 所以g（x）的值域为[a－1，－a－1]，记为C＝[a－1，－a－1].当a＞0时，由题意可知A＝[1，3]是B＝[－a－1，a－1]的子集，所以解得a≥4；当a＜0时，由题意可知A＝[1，3]是C＝[a－1，－a－1]的子集，所以解得a≤－4.综上，a≥4或a≤－4，故选C. 答案　C ⁠ 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于m的不等式组，求得参数的取值范围. 类型二　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）＝g（x2）成立” [典例2]　已知函数f（x）＝log2x，g（x）＝2x＋a，若存在x1，x2∈，使得f（x1）＝g（x2），则a的取值范围是 　　　　⁠.  解析　函数f（x）＝log2x在上单调递增，值域为，函数g（x）＝2x＋a在上单调递增，值域为[1＋a，4＋a]，由存在x1，x2∈，使得f（x1）＝ g（x2），可知两个函数的值域有交集，即[1＋a，4＋a]∩[－1，1]≠⌀，则有1＋a≤－1≤4＋a或1＋a≤1≤4＋a，即－5≤a≤－2或－3≤a≤0，解得－5≤a≤0. 答案　[－5，0] ⁠ 本类问题的实质是“两函数f（x）与g（x）的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f（x）的值域和g（x）的值域相等”来求解参数的取值范围. 类型三　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）≤g（x2）成立” [典例3]　已知函数f（x）＝x＋，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是 　　　　⁠.  解析　依题意知f（x）max≤g（x）max.因为f（x）＝x＋在上单调递减，所以f（x）max＝f＝. 又g（x）＝2x＋a在[2，3]上单调递增，所以g（x）max＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥. 答案　 ⁠ 理解量词的含义，将原不等式转化为f（x）max≤g（x）max；利用函数的单调性，求f（x）与g（x）的最大值，得到关于a的不等式，从而求得a的取值范围. 类型四　形如“存在x1∈A，对任意x2∈B，都有f（x1）＜g（x2）成立” [典例4]　已知函数f（x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2（a＞0），若对任意x1∈R，都存在实数x2∈[－2，＋∞），使得f（x1）＞g（x2），则实数a的取值范围是（　　） A. B.（0，＋∞） C. D. 解析　因为函数f（x）＝x2－2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x＝1对称，所以f（x）的最小值为f（1）＝－1，无最大值，可得f（x）值域为[－1，＋∞）.又 g（x）＝ax＋2（a＞0）为单调递增函数，所以g（x）的值域为[g（－2），＋∞），即g（x）∈[2－2a，＋∞）.因为对于任意x1∈R，都存在实数x2∈[－2，＋∞），使得f（x1）＞g（x2），所以只需f（x）的值域是g（x）值域的真子集即可，所以2－2a＜－1，解得a＞，故选A. 答案　A ⁠ 解决本题的关键是对条件的理解及转化，将条件转化为g（x）min＜f（x）min，然后求解参数的范围. $