第1章 第5讲 二次函数与一元二次方程、不等式-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第5讲　二次函数与一元二次方程、不等式 ⁠ 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义. 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集. ⁠ [对应学生用书P15] 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c （a＞0）的图象 ⁠ ⁠ ⁠ 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两相异实根x1，x2（x1＜x2） 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 ⁠⁠　　⁠ ⁠⁠　　⁠ ⁠⁠　R　⁠ ax2＋bx＋c＜0（a＞0）的解集 ⁠⁠　{x｜x1＜x＜x2}　⁠ ⁠⁠　⌀　⁠ ⁠⁠　⌀　⁠ 　 R　 {x｜x1＜x＜x2}　 ⌀　 ⌀　 3.（x－a）（x－b）＞0或（x－a）（x－b）＜0型不等式的解集 不等式 解集 a＜b a＝b a＞b （x－a）·（x－b）＞0 {x｜x＜a或x＞b} ⁠⁠　{x｜x≠a}　⁠ ⁠⁠　{x｜x＜b或x＞a}　⁠ （x－a）·（x－b）＜0 {x｜a＜x＜b} ⁠⁠　⌀　⁠ ⁠⁠　{x｜b＜x＜a}　⁠ {x｜ x≠a}　 {x｜x＜b或x＞ a}　 ⌀　 {x｜b＜x＜a}　 4.分式不等式与整式不等式 （1）＞0（＜0）⇔f（x）·g（x）＞0（＜0）.   （2）≥0（≤0）⇔f（x）·g（x）≥0（≤0）且g（x）≠0.   ⁠⁠ 1.绝对值不等式｜x｜＞a（a＞0）的解集为（－∞，－a）∪（a，＋∞）；｜x｜＜a（a＞0）的解集为（－a，a）. 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）时不要忘记当a＝0时的情形. 3.不等式ax2＋bx＋c＞0（＜0）恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. （1）不等式ax2＋bx＋c＞0对任意实数x恒成立⇔或 （2）不等式ax2＋bx＋c＜0对任意实数x恒成立⇔或 ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）若不等式ax2＋bx＋c＜0（a≠0）的解集为（x1，x2），则必有a＞0. （　　） 答案　（1）√　 （2）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R. （　　） 答案　（2）×　 （3）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. （　　） 答案　（3）×　 （4）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0的解集一定不是空集. （　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P55习题2.3T1改编）已知集合A＝，B＝，则A∩B＝（　　） A. B. C. D. 解析　由题意，得B＝＝{x｜1＜x＜5}，∴A∩B＝，故选D. 答案　D 3.（人A必修第一册P55习题2.3T3改编）设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）·（n＋x）＞0的解集是 （　　） A.{x｜x＜－n或x＞m} B.{x｜－n＜x＜m} C.{x｜x＜－m或x＞n} D.{x｜－m＜x＜n} 解析　不等式变形为（x－m）（x＋n）＜0，方程（x－m）（x＋n）＝0的两根为m，－n，显然由m＋n＞0，得m＞－n，所以不等式的解为－n＜x＜m. 答案　B ｜易错自纠｜ 4.（忽略等号能否成立致误）不等式≥1的解集为 　　　　⁠.  解析　由≥1，得－1≥0，即≥0， 解得x≥1或x＜－2，所以原不等式的解集为{x｜x≥1或x＜－2}. 答案　{x｜x≥1或x＜－2} 5.（忽视二次项系数为0致误）命题p：对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立.若命题p为真，则a的取值范围为 　　　　　　⁠.  解析　当a＝0时，对任意实数x都有ax2＋ax＋1＞0恒成立； 当a≠0时，y＝ax2＋ax＋1是二次函数，此时，y＞0等价于解得综上，0≤a＜4. 答案　[0，4） ⁠ [对应学生用书P16] 考点1　一元二次不等式的解法（多维探究） 角度1　解不含参的一元二次不等式 [例1]　（1）不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为 （　　） A. B. C.（－∞，－1）∪ D.∪（1，＋∞） 解析　－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即（x＋1）（2x－3）＞0，所以x＜－1或x＞. 答案　C （2）不等式≤1的解集为 　　　　⁠.  解析　由不等式≤