第1章 第3讲 不等关系与不等式性质-【勤径学升】2024高考数学一轮总复习配套课件（人教A版）

数　学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第3讲　不等关系与不等式性质 ⁠ 1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据. 2.理解不等式的概念. 3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. ⁠ [对应学生用书P9] 1.两个实数比较大小的方法 （1）作差法⁠⁠⁠ （2）作商法⁠⁠⁠ 2.不等式的性质 （1）对称性：a＞b⇔b＜a； （2）传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； （3）同向可加性：a＞b⇔a＋c⁠⁠＞　⁠b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c⁠⁠＞　⁠b＋d； （4）可乘性：a＞b，c＞0⇒ac⁠⁠＞　⁠bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac⁠⁠＞　⁠bd； （5）可乘方性：a＞b＞0⇒an⁠⁠＞　⁠bn（n∈N，n≥1）； （6）可开方性：a＞b＞0⇒⁠⁠＞ ⁠（n∈N，n≥2）. ＞　 ＞　 ＞　 ＞　 ＞　 ＞ ⁠⁠ 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 （1）若a＞b＞0，m＞0，则＜；＞（b－m＞0）. （2）若ab＞0，且a＞b⇔＜. ⁠ ｜思考辨析｜ 1.判断（在括号内打“√”或“×”） （1）a＞b⇔ac2＞bc2. （　　） 答案　（1）×　 （2）a＝b⇔ac＝bc. （　　） 答案　（2）×　 （3）若＞1，则a＞b. （　　） 答案　（3）×　 （4）0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.（　　） 答案　（4）√ ｜教材衍化｜ 2.（人A必修第一册P42练习T2改编）已知a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论一定成立的是 （　　） A.a＋c＞b＋d B.a－c＞b－d C.ac＞bd D.ad＞cd 解析　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.又a＞b＞0，所以a－c＞b－d. 答案　B 3.（人A必修第一册P42习题2.1T5改编）已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，则2a－b的取值范围为 （　　） A.（0，2） B.（2，5） C.（5，8） D.（6，7） 解析　2＜a＜3，－2＜b＜－1，故4＜2a＜6，1＜－b＜2，得5＜2a－b＜8. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（忽视差的取值范围致误）若x∈R，则a＝与b＝的大小关系为 　　　　⁠.  解析　a－b＝－＝＝≥0，当x＝1时，等号成立. 所以a≥b. 答案　a≥b 5.（求取值范围考虑不周致误）已知实数x，y满足1＜x＜y＜3，则y－x的取值范围是 　　　　⁠.  解析　因为1＜x＜y＜3，所以y－x＞0.又y＜3，－x＜－1，所以y－x＜2，所以0＜y－x＜2. 答案　（0，2） ⁠ [对应学生用书P10] 考点1　比较代数式的大小（师生共研） [例1]　（1）已知a＜0，b＜0，比较大小：＋ 　　　　⁠a＋b.  解析　－（a＋b）＝＝＝， 又a＜0，b＜0，a＋b＜0，∴≤0，∴－（a＋b）≤0. 答案　≤ （2）已知2a＝6b＝10，则ab 　　　　⁠a＋b.（填“＞”“＜”或“＝”）  解析　由题得a＝log210，b＝log610，所以＝＋＝lg 2＋lg 6＝lg 12＞1， 所以a＋b＞ab. 答案　＜ ⁠ 判断两数（式）大小的方法 （1）作差法：①作差；②变形；③定号；④结论. （2）作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论. 变式训练 1. 　　　⁠.（用不等号“＜”或“＞”填空） 解析　∵－ ＝ ＝ ＝＞0，∴＞. 答案　＞ 2.P＝a2＋a＋1，Q＝（a∈R），则P，Q的大小关系为 　　　⁠.  解析　因为P＝a2＋a＋1＝＋＞0，a2－a＋1＝＋＞0，则Q＞0. 由＝＝－a2＝a4＋a2＋1≥1，所以P≥Q. 答案　P≥Q 考点2　不等式的性质及应用（师生共研） [例2]　（1）（多选）已知＜＜0，则下列不等关系中正确的是 （　　） A.ab＞a－b B.ab＜－a－b C.＋＞2 D.＞ 解析　对于A，由＜＜0，得b＜a＜0，当a＝－，b＝－2时，A错误； 对于B，当a＝－2，b＝－3时，B错误； 对于C，由＜＜0，得b＜a＜0，根据基本不等式知，C正确； 对于D，由＜＜0，得b＜a＜0，所以b2＞a2.因为－＝＞0，所以D正确. 答案　CD （2）（多选）（2022·广东汕头·二模）已知a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，那么下列各式中一定成立的是 （　　） A.ac（a－c）＞0 B.c（b－a）＜0 C.cb2＜ab2 D.ab＞ac 解析　因为a，b，c满足c＜a＜b，且ac＜0，所以c＜0，a＞0，b＞0，a－c＞0，b－a＞0， 所以ac（a－c）＜0，c（b－a）＜0，cb2＜ab2，ab＞ac，故选BCD. 答案　BCD ⁠ 解决此类题目常用的三种方法： （1）直接利用不