高考大题专题研究一 专题研究（一） 利用导数研究不等式的证明问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

高考大题专题研究一 命题动向：通过近五年的高考试题分析，导数与不等式、函数的零点相结合的综合问题既是考查的热点又是重点．此类问题综合性较强，融函数、导数、不等式等高中数学主干知识为一体，能有效考查学生的综合解题能力．涉及的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想等，难度较大． 课时作业 专题研究(一)　利用导数研究不等式的证明问题 题型一　单变量不等式的证明 课时作业 解 课时作业 解 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1. 从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1. 解得a＝b＝－1. 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　单变量不等式的证明方法 (1)移项法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))的问题转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)构造“形似”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． (3)最值法：欲证f(x)<g(x)，有时可以证明f(x)max<g(x)min. 课时作业 变式训练1　(2023·四川达州模拟)已知函数f(x)＝ax2－xln x. (1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围； 解 解　(1)由题意知，f′(x)＝2ax－ln x－1. 因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 所以当x>0时，f′(x)≥0， 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex， 易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0. 因为h(x)与φ(x)不同时为0， 课时作业 题型二　双变量不等式的证明 证明 课时作业 证明 课时作业 证明 课时作业 证明 课时作业 [解题策略]　解决此类双变量不等式证明的一般步骤 (1)转化，由已知条件入手，寻找双变量所满足的关系式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不等式； (2)构造函数，构造新函数，利用导数研究新函数的单调性及最值，从而得到所证不等式． 课时作业 变式训练2　(2023·陕西西安质检)已知函数f(x)＝xln x－2x. (1)求f(x)的单调区间、极值； (2)若x>y>0，试确定f(x)－f(y)与xln y－yln x的大小关系，并给出证明． 解 解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－2＝ln x－1，令f′(x)＝0得x＝e. 课时作业 解 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况列表如下： 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 题型三　放缩法证明不等式 解 (1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若0<a≤1，g(x)＝f(x)－2ax，证明：当x∈(0,1)时，g(x)≥2－3ln 2. 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　放缩法证明不等式 在证明不等式的时候，若直接证明比较困难，可将不等式中的部分项进行放大或缩小，然后证明放缩后的不等式成立，再根据不等式的传递性证明原不等式成立，这种方法就是放缩法证明不等式，常用的放缩技巧有：(1)ex≥x＋1；(2)ln x≤x－1等． 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 令h(x)＝xex－sinx，则h′(x)＝(x＋1)ex－cosx， 易知h′(x)为(0，π)上的增函数， 所以h′(x)＝(x＋1)ex－cosx>e0－1＝0， 所以函数h(x)在(0，π)上单调递增， 所以当0<x<π时，h(x)>h(0)＝0，即xex－sinx>0，所以当x∈(0，π)时，不等式ex>(1－ln x)sinx成立． 课时作业 题型四　证明与正整数有关的不等式问题 例4　已知函数f(x)＝2ln x－x2＋1. (1)求函数f(x)的最大值； 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量，通过适当放缩达到证明的目的． 课时作业 变式训练4　已知函数f(x)＝x－1－aln x. (1)若f(x)≥0，求a的值； 解 课时作业 解 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0. 所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 故x