高考大题专题研究一 专题研究（三） 利用导数研究函数的零点问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

高考大题专题研究一 专题研究(三)　利用导数研究函数的零点问题 题型一　判断、证明函数的零点或方程的根 解 (1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1,2)上有零点； (2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由． 课时作业 解 课时作业 解 当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0，因此φ(x)在(0，＋∞)上单调递增， 易知φ(x)在(0，＋∞)内至多有一个零点， 即h(x)在[0，＋∞)内至多有两个零点， 则h(x)在[0，＋∞)上有且只有两个零点， 所以方程f(x)＝g(x)的根的个数为2. 课时作业 [解题策略]　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法 (1)利用零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上的零点个数． (2)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义域区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的大致图象，数形结合求解函数零点的个数． 课时作业 变式训练1　(1)(2023·榆林模拟)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R，若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数． 解 课时作业 解 课时作业 (2)(2022·新高考Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex－x和g(x)＝x－ln x，证明：存在直线y＝b，其与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标x1，x2，x3满足x1＋x3＝2x2. 证明 证明　f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0. 所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)＝ex－x在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 课时作业 证明 所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0. 所以函数g(x)＝x－ln x在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 设u(x)＝f(x)－g(x)＝ex－2x＋ln x(x>0)， 课时作业 证明 课时作业 证明 所以函数f(x)与函数g(x)的图象在(0,1)上存在唯一交点，设该交点为M(m，f(m))(0<m<1)， 由此可作出函数y＝f(x)和y＝g(x)的大致图象， 课时作业 证明 由图象可知，当且仅当直线y＝b经过点M(m，f(m))时， 直线y＝b与两条曲线y＝f(x)和y＝g(x)共有三个不同的交点， 因为三个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，且x1<x2<x3， 所以f(x1)＝f(x2)＝g(x2)＝g(x3)＝b. 因为f(x)＝ex－x，g(x)＝x－ln x＝eln x－ln x＝f(ln x)， 所以f(x1)＝f(x2)＝f(ln x2)＝f(ln x3)． 课时作业 证明 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　已知函数零点个数求参数范围的常用方法 (1)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围． (2)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (3)数形结合法：通过函数图象与x轴的交点个数，或者两个相关函数图象的交点个数确定参数满足的条件，进而求得参数的取值范围，解决问题的步骤是“先形后数”． 课时作业 变式训练2　已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 解 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)， f′(x)＝ex－1. 令f′(x)＜0，解得x＜0； 令f′(x)＞0，解得x＞0. 所以f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)． 课时作业 解 (2)解法一：当a≤0时，f′(x)＝ex－a>0恒成立，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，不符合题意； 当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a， 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 所以f(x)的极小值也是最小值为f(ln a)＝a－a(ln a＋2)＝－a(1＋ln a)． 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 题型三　函数零点、极值点的综合问题 例3　已知函数f(x)＝(x－1)ln x－x－1