高考大题专题研究一 专题研究（二） 利用导数解决不等式恒(能)成立问题-【金版教程】2024高考文科数学一轮复习创新方案课件PPT（全国统考版）

高考大题专题研究一 专题研究(二)　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 题型一　恒成立问题 角度 　构造函数分类讨论法解决恒成立问题 解 (1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间； (2)若不等式f(x)≥x对x∈(0,1]恒成立，求实数a的取值范围． 课时作业 解 令φ(x)＝－x2＋ax－1，由于φ(0)＝－1<0，φ(1)＝a－2， ①当a≤0时，φ(x)<0对x∈(0,1]恒成立，故g′(x)<0对x∈(0,1]恒成立． 故g(x)在(0,1]上单调递减，g(x)≥g(1)＝0成立； ②当0<a≤2时，Δ＝a2－4≤0，φ(x)≤0，g′(x)≤0对x∈(0,1]恒成立， 故g(x)在(0,1]上单调递减，g(x)≥g(1)＝0成立； 课时作业 解 故φ(x)在(0,1]上单调递增，φ(1)>0， 故φ(x)在(0,1]内存在唯一的零点x0， 在x∈(0，x0)时，φ(x)<0，故g(x)在(0，x0)上单调递减； 在x∈(x0,1)时，φ(x)>0，故g(x)在(x0,1)上单调递增． 故当x∈(x0,1)时，g(x)<g(1)＝0. 综上所述，实数a的取值范围为(－∞，2]． 课时作业 角度 　分离参数法解决恒成立问题 例2　(2023·内蒙古呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝ex＋x2＋ax＋1. (1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x∈(0，＋∞)时，(a＋1)ex＋ax≥f(x)＋3x恒成立，求a的取值范围． 解 解　(1)当a＝2时，f(x)＝ex＋x2＋2x＋1， f′(x)＝ex＋2x＋2， k＝f′(0)＝3，f(0)＝2. 所以所求切线方程为y－2＝3x，即3x－y＋2＝0. 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 令g(x)＝ex－x，x∈(0，＋∞)， 则g′(x)＝ex－1>0. 所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以g(x)>g(0)>0. 由f′(x)＝0，得x＝1； 由f′(x)>0，得x>1； 由f′(x)<0，得0<x<1. 所以f(x)的极小值点为1，无极大值点． 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论法：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，转化为求解函数最值的问题，但是往往需要对参数进行分类讨论． (2)分离参数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，若a≥v(x)在x∈D上恒成立，则a≥v(x)max；若a≤v(x)在x∈D上恒成立，则a≤v(x)min. 课时作业 (3)同构法：在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称为“同构”，同构的三种基本模式如下： 课时作业 课时作业 解 解　(1)f′(x)＝2x－sinx， 令h(x)＝2x－sinx， 当x∈[0，π]时，h′(x)＝2－cosx＞0，所以当x∈[0，π]时，h(x)＝2x－sinx单调递增， 所以h(x)≥h(0)＝0，即f′(x)≥0，所以f(x)单调递增． 课时作业 解 课时作业 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略] 1．不等式能成立问题的解题关键点 课时作业 2．能成立问题求参数范围的常见题型 (1)存在x∈[a，b]，f(x)≥m成立⇔f(x)max≥m. (2)存在x∈[a，b]，f(x)≤m成立⇔f(x)min≤m. 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 解 课时作业 [解题策略]　双变量不等式恒(能)成立问题的求解方法 (1)∀x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最大值． (2)∃x1∈[a，b]，x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最大值>g(x)在[c，d]上的最小值． (3)∀x1∈[a，b]，∃x2∈[c，d]，f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a，b]上的最小值>g(x)在[c，d]上的最小值． (4)∃x1∈[a，b]，∀x2∈[c，d]，f(