专题13 分式与分式的混合运算-【备考先锋必刷题】2022-2023学年八年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 一、分式的概念 1.分式的定义：整式除以整式，可以表示成的形式，如果除式中含有字母，那么称为分式，其中称为分式的分子，称为分式的分母，对于任意一个分式，分母都不为零。 2.分式有、无意义和分式的值为零的条件 Ⅰ分式有意义的条件：分母不等于零，即； Ⅱ分式无意义的条件：分母等于零，即 Ⅲ分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即且。 3.分式值为正和为负的条件 Ⅰ分式的值为正数的条件：分式的分子与分母同号，即或 Ⅱ分式的值为负数的条件：分式的分子与分母异号号，即或 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变。 用式子表示是： （为整式且） 2.约分 Ⅰ约分的定义： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 Ⅱ最简分式的定义： 一个分式的分子与分母已没有公因式，这个分式称为最简分式，化简分式时，通常要把结果化成最简分式或者整式。 Ⅲ约分的方法： （1）当分式的分子和分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式，然后将分子和分母的最大公因式约去。 （2）当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式分解因式，然后约去分子和分母的公因式。 3.分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 即： 三、分式乘除运算 1.分式的乘法法则 Ⅰ分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 即：。 Ⅱ分式乘法运算的技巧： （1）两个分式相乘，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 （2）如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 2.分式的除法法则 Ⅰ分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 即：。 Ⅱ分式除法运算的技巧： （1）两个分式相除，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 （2）如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 3.分式的乘除法的混合运算 在分式的乘除混合运算中，把分式的乘除法运算一律转化成乘法运算，然后根据乘法的运算方法，从左到右依次计算。 4.分式的乘方运算 分式的乘方法则：对一个分式的乘方，是把该分式的分子、分母各自乘方。（注意：这里的分子、分母指的是分子、分母的整体，而不是部分） 四、分式加减运算 1.同分母分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即； 特别提醒： （1）分子相加减时，如果分子是单项式且符号为“”或分子是多项式，一定要给分式的分子加上括号。 （2）分式加减运算的结果，必须化成最简分式或整式 2.通分 Ⅰ通分的定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 Ⅱ确定最简公分母的步骤： （1）把多项式的分母能分解因式的要先分解因式； （2）取各分母系数的最小公倍数； （3）凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取； （4）相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。 按上述步骤取的因式的积，即为最简公分母。 Ⅲ通分的步骤： （1）确定最简公分母； （2）在确定公分母后，还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商。 3.异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算。 4.分式的四则混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，要先算乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的。 例题分析 考点1 分式的概念 【例1】．在关于x的方程：①＝+，②﹣＝0，③ax2＝+1，④＝，⑤＝，⑥+＝中， 　 　是整式方程，　 　是分式方程． 考点2 分式有意义、无意义的条件 【例2】．对于分式，当x＝﹣2时，无意义，当x＝4时，值为0，则a+b＝　 　． 变式训练 【变2-1】．当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 考点3 分时值为0的条件、最简分式、分式约分 【例3.1】．若已知分式的值为0，则m的值为　 　． 【例3.2】．下列分式，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3.3】．若分式（a，b＞0）中的a、b的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值（　　） A．是原来的20