专题15 全等三角形中的6种基本模型-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 模型一、平移全等模型 模型二、对称全等模型 模型三、旋转全等模型 模型四、手拉手全等模型 模型五、截长补短模型 ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF， 可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°， ∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG. ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°， 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 模型六、 单中点-倍长中线模型 例题分析 考点1 平移模型 【例1】．如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD＝BE，AC＝DF，AC∥DF．求证：BC＝EF． 变式训练 【变1-1】．如图，点B，F，C，E共线，∠B＝∠E，BF＝EC，添加一个条件，不能判断△ABC≌△DEF的是（　　） A．AB＝DE B．∠A＝∠D C．AC＝DF D．AC∥FD 【变1-2】．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，EA∥FB，EA＝FB，AB＝CD． （1）求证：△ACE≌△BDF； （2）若∠A＝40°，∠D＝80°，求∠E的度数． 考点2 对称模型 【例2】．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，点E是CD的中点，AE＝BE．求证：∠D＝∠C． 变式训练 【变2-1】．已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C． 考点3 手拉手模型 【例3】．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由． 变式训练 【变3-1】．如图，已知OA＝OC，OB＝OD，∠AOC＝∠BOD． 求证：△AOB≌△COD． 【变3-2】．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，且AD⊥BD，BD交AC于点E，G为BD上一点，且∠BCG＝∠DCA，过点G作GH⊥CG交CB于点H． （1）求证：CD＝CG； （2）若AD＝CG，求证：AE＝CH． 考点4 一线三等角明显 【例4】．问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．求证：AB+CD＝BC． 变式训练 【变4-1】．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边向外侧作正方形ABDE、ACFG、BCHI，连接CE，如果正方形ABDE的面积为36，正方形BCHI的面积为25，则△ACE的面积为　　 ． 【变4-2】．数学模型（“一线三等角”模型） （1）如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE． （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）； （3）如图3，D，E是直线l上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由． 考点5 倍长中线模型 【例5】．如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE． 变式训练 【变5-1】．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围为 　 　． 【变5-2】．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，点F为DE的中点，求证：BC＝2AF． 考点6 截长补短模型 【例6】．如图，AD⊥BC，AB+BD＝DC，∠B＝54°，则∠C＝　 　． 变式训练 【变6-1】．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC， 求证：∠A+∠C＝180°． 【变6-2】．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在线段AB上，连接CD，∠ADC＝60°，AD＝2，过C作CE⊥CD，且CE＝CD，连接DE，交BC于F． （1）求△CDE的面积； （2）证明：DF+CF＝EF． 1．如图，在