微专题03 与球有关的内切、外接问题-2022-2023学年高一数学下学期复习总结题型探究+测试卷（人教A版2019必修第二册）

微专题3 与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系． 题型1：直接法(公式法) 【例】（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】（2023·高一单元测试）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________． 题型2：构造法(补形法) 【例】（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知三棱锥的棱，，两两垂直，且，．以为直径的球与平面的交线为，则的长度为（      ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2021春·陕西汉中·高一校考期中）已知球是四棱锥的外接球，四边形是边长为1的正方形，点在球面上运动且，则当四棱锥的体积最大时，球的表面积是___________. 题型3：寻求轴截面圆半径法 【例】正四棱锥S－ABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一球面上，则此球的体积为________． 【跟踪训练】在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比． 题型4：确定球心位置法 【例】（2023春·全国·高一专题练习）已知在四面体中，，则该四面体外接球的表面积为__________. 【跟踪训练1】（2023春·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】（2023·高一单元测试）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某鞠（球）的表面上有四个点，满足，平面，，若三棱锥的体积为，则该“鞠”的体积的最小值为______. 题型5：利用等体积法求内切球半径 【例】　在正三棱锥A－BCD中，底面边长为2，高为1，则该三棱锥的表面积为________，内切球半径为________． 【跟踪训练】（2023·湖南郴州·统考三模）已知三棱锥的棱长均为4，先在三棱锥内放入一个内切球，然后再放入一个球，使得球与球及三棱锥的三个侧面都相切，则球的表面积为__________. 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题3 与球有关的内切、外接问题 与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例)．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系． 题型1：直接法(公式法) 【例】（2023春·湖南长沙·高一长郡中学校考阶段练习）如图，半球内有一内接正四棱锥，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设半球的半径为，连接交于点，连接，利用四棱锥的体积公式求出半径，再代入球的体积公式即可求解. 【详解】依题意，设半球的半径为， 连接交于点，连接，如图所示： 则有，易得， 所以正四棱锥的体积为： ， 解得：， 所以半球的体积为：. 故选：C. 【跟踪训练】（2023·高一单元测试）如图，在圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面及母线均相切，已知圆柱的底面半径为3，则圆柱的体积为__________． 【答案】 【分析】由条件球的半径与圆柱底面圆半径相同，故球的半径为3，进而得圆柱的高，代入体积公式求解． 【详解】设圆柱的底面半径为，球的半径为．由条件有：，圆柱的高为， 所以圆柱的体积为． 故答案为： 题型2：构造法(补形法) 【例】（2023·四川凉山·二模）在四面体中，，则四面体外接球表面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用割补法及勾股定理，结合长方体的体对角线是外接球的直径及球的表面积公式即可求解. 【详解】由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分，长方体的长、宽、高分别为，，，四面体如图所示， 所以此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线，即,解得. 所以四面体外接球表面积是. 故答案为：B. 【跟踪训练1】（2023春·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考阶段练习）已知三棱锥的棱，，两两垂直，且，．以为直径的球与平面的交线为，则的长度为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据球到截面圆的距离以及截