全等三角形的七大模型综合训练（二）-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

全等三角形的七大模型综合训练（二） 1．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 2．如图，在和中，，，，CE的延长线交BD于点F． (1)求证：． (2)若，请直接写出的度数． (3)过点A作于点H，求证：． 3．在中，边上的中线的取值范围（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图）： (1)①延长到Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系可得____________，则的取值范围是__________． 感悟：解题时、条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)请写出图1中与的位置关系并证明； (3)思考：已知，如图2，是的中线，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明． 4．在直角三角形中，，直线过点． (1)当时， ①如图1，分别过点和作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于，连接．求证：． (2)当cm，cm时，如图3，点与点关于直线对称，连接、．点从点出发，以每秒1cm的速度沿路径运动，终点为，点以每秒3cm的速度沿路径运动，终点为，分别过点、作直线于点，直线于点，点、同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，求的值． 5．在四边形中． (1)如图1，，，，分别是，上的点，且，探究图中，，之间的数量关系． 小林同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先对比与的关系，再对比与的关系，可得出、、之间的数量关系，他的结论是　　； (2)如图2，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则上述结论是否仍然成立，请说明理由． (3)如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，若，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 6．如图、等腰中，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于G点，则与的数量关系是_____________． (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)如图3，当E点在的延长线上时，连接与的延长线交于D点，若，求的值． 7．问题提出，如图（1），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，线段之间存在怎样的数量关系？ 问题探究 (1)先将问题特殊化.如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示之间的数量关系； (2)再探究一般情形.如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立. 问题拓展 (3)如图（3），在和中，，，，点E在内部，直线与交于点F，直线与交于点G，点H为线段上一点，，与交于点I，若，，则___________（用含m，n的式子表示） 8．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且． (1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系； (2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点； (3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求． 9．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 10．在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么________度； (2)设，． ①如图2，当点D在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点D在线段的延长线上，时，请将图3补充完整；写出此时与之间的数量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全等三角形的七大模型综合训练（二） 1．如图，等边中，点在上，延长到，使，连，过点作与点． (1)如图1，若点是中点， 求证：①；②． (2)如图2，若点是边上任意一点，的结论是否仍成立？请证明你的结论； (3)如图3，若点是延长线上任意一点，其他条件不变，的结论是否仍成立？画出图并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)成立，见解析 (3)成立，见解析 【分析】（1）证明，推出，利用等腰三角形的性质，可得结论； （2） 仍然成立，过点D作DM//BC交AC于M，证明，可得结论； （3）结论仍然成立，过点D作DM//BC交AC于