专题11 排列、组合与二项式定理-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（山东专用）

专题11 排列、组合与二项式定理 一、单选题 1．（2023·山东泰安·统考一模）若的二项展开式中的系数是，则实数的值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】原式利用二次展开通项公式化简，根据的系数是，求出的值即可. 【详解】根据的二项展开通项公式. 令，得到，由的系数是，得到， 解得：， 故选：D 2．（2023·山东滨州·统考一模）从名大学毕业生中选人担任村长助理，则甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别在甲、乙有且仅有人入选和甲、乙人都入选的情况下确定选法种数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】甲、乙有且仅有人入选、丙没有入选的情况有：种； 甲、乙人都入选、丙没有入选的情况有：种； 甲、乙至少有人入选，而丙没有入选的不同选法的种数有种. 故选：C. 3．（2023·山东淄博·统考一模）某公园有如图所示至共8个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法总数为（ ） A. 168 B. 336 C. 338 D. 84 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，先排男生再排女生，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】第一步：排男生，第一个男生在第一行选一个位置有四个位置可选，第二个男生在第二行有三个位置可选，由于两名男生可以互换，故男生的排法有种， 第二步：排女生，若男生选，则女生有共7种选择， 由于女生可以互换，故女生的排法有种， 根据分步计数原理，共有种， 故选：B 4. （2023·山东菏泽·统考一模）为了迎接“第32届菏泽国际牡丹文化旅游节”，某宣传团体的六名工作人员需要制作宣传海报，每人承担一项工作，现需要一名总负责，两名美工，三名文案，但甲，乙不参与美工，丙不能书写文案，则不同的分工方法种数为（ ） A. 9种 B. 11种 C. 15种 D. 30种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理进行分析，考虑丙是否是美工，由此展开分析并计算出不同的分工方法种数. 【详解】解：若丙是美工，则需要从甲、乙、丙之外的三人中再选一名美工， 然后从剩余四人中选三名文案，剩余一人是总负责人，共有种分工方法； 若丙不是美工，则丙一定是总负责人， 此时需从甲、乙、丙之外的三人中选两名美工，剩余三人是文案，共有种分工方法； 综上，共有种分工方法， 故选：C． 二、多选题 5．（2023·山东青岛·统考一模）在的展开式中,下列说法正确的是( ) A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等 C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式定理,的通项公式为,对于A,令进行判断;对于B,令和计算判断即可;对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为可进行判断;对于D,令即可进行判断. 【详解】根据二项式定理,的通项公式为, 对于A,常数项为,故A正确; 对于B,第四项的系数为,第六项的系数为,故B错误; 对于C,因为,所以各项的二项式系数之和为,故C正确; 对于D,令,各项的系数之和为,故D错误. 故选:AC. 6．（2023·山东省·高考考向核心卷）某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到，，三家企业开展“新冠肺炎”防护排查工作，每名医生只能到一家企业工作，则下列结论正确的是（    ） A．所有不同分派方案共种 B．若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种 C．若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业，则所有不同分派方案共12种 D．若企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种 【答案】BCD 【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业的所有不同分派方案数判断选项C；求得企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D 【详解】选项A：所有不同分派方案共种.判断错误； 选项B：若每家企业至少分派1名医生， 先把4名医生分成3组（2人，1人，1人）再分配. 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到企业， 则企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生， 则所有不同分派方案共（种）.判断正确； 选项D：若企业最多派1名医生，则企业可以有1名医生和没有医生两种情况, 则不同分派方案共（种）.判断正确. 故选：BCD 三、填空题 7．（2023·山东日照·统考一模） 在的展开式中,的系数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】