专题09 平面解析几何-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（山东专用）

专题09 平面解析几何 一、单选题 1．（2023·山东临沂·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左、右两支分别交于点，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，设，利用双曲线的定义得到，然后设，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解. 【详解】解：因为， 所以， 由双曲线的定义得， 解得， 则， 设，，， 联立，消去x得， 由韦达定理得：， 由，得，解得， 所以， ， 解得， 则， 故选：D 2．（2023·山东烟台·统考一模）过抛物线的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于A，B两点，若点A，B到y轴的距离之和为，则p的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程消去y，根据题意结合利用韦达定理可求p. 【详解】设， 由题意可得：直线的斜率，抛物线的焦点， 故直线的方程为， 联立方程，消去y得， 则， 可知异号， 由题意可得：， 解得. 故选：B. 3．（2023·山东日照·统考一模）已知椭圆：的左、右焦点为，，点为椭圆内一点，点在双曲线：上，若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出椭圆左焦点坐标为，由题得，解不等式得到，再解不等式即得解. 【详解】点在双曲线：上，所以. 所以椭圆左焦点坐标为. 因，所以, 所以. 因为，所以. 点椭圆内一点，所以， 所以或. 综上：. 故选：A 4．（2023·山东烟台·统考一模）由点射出的两条光线与分别相切于点，，称两射线，上切点右侧部分的射线和优弧右侧所夹的平面区域为的“背面”．若处于的“背面”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设过点的切线方程为，进而可得切线方程，利用新定义可求的最值，进而可求实数的取值范围． 【详解】解：设过点的切线方程为， ，， 直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 处于的“背面”， 与相切时取最小值，由，解得或， 结合图形可得的最小值为， 同理与相切时可得的最大值为， ． 故选：D． 5．（2023·山东菏泽·统考一模）过抛物线焦点作倾斜角为的直线交抛物线于，则（ ） A. B. C. 1 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】点斜式设出直线l的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的定义，利用韦达定理来求解. 【详解】化为标准形式由此知； 设直线l的方程为：， ，，根据抛物线定义知； 将，代入，可得， 由此代入. 故选：A 6. （2023·山东济宁·统考一模）若过点直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的最大值（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，设直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径得到或，解得答案. 【详解】直线的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在， 圆的圆心为，半径， 设直线方程，即，直线到圆心的距离为， 解得或，当时，倾斜角最大为. 故选：C 7．（2023·山东聊城·统考一模）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．设椭圆的焦点为，，为椭圆上的任意一点，为椭圆的蒙日圆的半径．若的最小值为，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的性质分析可得蒙日圆的圆心为坐标原点，半径，设，根据平面向量的坐标运算可得，进而可得，代入运算即可得离心率. 【详解】设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为， 不妨设椭圆的焦点在x轴上，中心在坐标原点，显然均为椭圆的切线， 即均在蒙日圆上， 根据对称性分析可得：蒙日圆的圆心为坐标原点，半径， 设椭圆方程为，椭圆上任一点， ∵，则， 可得 ， 注意到， 故，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，故， 整理得，即， 整理得，即. 故选：D. 8．（2023·山东青岛·统考一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得. 【详解】显然直线与交于原点O， 由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则， 设点，而 由得，解得， 则， 则，化简得，即，， 解得， 则. 故选：C. 9．（2023·山东淄博·统考一模）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与坐标轴的交点，得到，，则，由