专题08 导数-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（山东专用）

专题08 导数 一、单选题 1．（2023·山东滨州·统考一模）已知，在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出，，由题意转化为，解不等式即可. 【详解】， 则，令可得或. 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增， 则. 又，所以. ∵在区间上存在三个不同的实数，使得以为边长的三角形是直角三角形， ∴，即，解得 . 又已知，∴． 故选：D． 二、多选题 2．（2023·山东滨州·统考一模）已知曲线在点处的切线为，且与曲线也相切．则（    ） A． B．存在的平行线与曲线相切 C．任意，恒成立 D．存在实数，使得任意恒成立 【答案】AC 【分析】由得，求出切线，与联立，由可得，由此判断A；由反证法可判断B；构造函数，通过研究其最小值和极限可判断C和D. 【详解】对于选项A：由得，所以，则，所以切线的斜率为，所以切线的方程为. 又直线也与相切，联立得，由得，故A正确； 对于选项B：假设存在与平行的直线与曲线相切于点，则，显然.令（）,则，所以当时，即单调递增，又，所以，即与重合，这与与平行矛盾，故B错误； 对于选项C：构造函数（），则，由得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以. 所以对，即恒成立. 故C正确； 对于选项D：因为在上单调递增，又时，，所以不存在实数，使得即对任意恒成立.故D错误. 故选：AC. 3．（2023·山东日照·统考一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造 ，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而得到A选项. B.先构造函数，通过函数的单调性确定的大致范围，再构造 ，通过函数的单调性确定与的大小关系，进而可知B选项错误. C.通过，得到，进而可得与大小关系, 进而可知C选项错误. D.与C选项同样的方法即可判断. 【详解】A. 令 则 ，所以在单调递减，在上单调递增， 且，故. 令 则， 所以在上单调递减，且 即 故选项A正确 B. 令 则，所以在单调递增，在上单调递减， 且，故. 令 所以在上单调递减，且 即 故选项B错误 C. 又在单调递增 故选项C错误 D. 由C可知， 又在单调递减 故选项D正确 故选：AD 三、填空题 4．（2023·山东临沂·统考一模）已知是函数的一个零点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】将 代入 ，构造直线方程，运用点到直线的距离求解. 【详解】因为 是 的一个零点， ，将 看作直线 上一个点的坐标， 则原题就变为：求当 时，点 到原点的距离的平方的最小值， 原点到直线的距离为 ， ， 令 ， ，当 时，, 是增函数， 在 时， ； 故答案为： . 5．（2023·山东烟台·统考一模）过点与曲线相切的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程. 【详解】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 6．（2023·山东济宁·统考一模）已知函数，若在上有解，则的最小值___. 【答案】 【解析】 【分析】确定点直线上，，设，求导得到导函数，确定单调区间计算最值得到答案. 【详解】设函数在上的零点为，则， 所以点在直线上. 设为坐标原点，则，其最小值就是到直线的距离的平方， 所以， 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，，所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求最值，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中将转化为点到直线的距离的平方，再利用导数求最值是解题的关键. 四、解答题 7．（2023·山东临沂·统考一模）已知函数． （1）若恒成立，求实数的最小值； （2）证明：有且只有两条直线与函数的图象都相切． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）分类讨论、时恒成立问题，其中时，构建，将原命题转为恒成立问题，再结合导数法研究单调性，将命题转为恒成立，最后分离参数，结合导数法求最值即可. （2）设出切点，由导数法针对不同切点求公切线方程，即可利用切线方程为同一条直线列方程组，最后结合零点存在定理讨论方程组解的个数. 【小问1详解】 显然， 恒成立，即恒成立，即恒成立， 即恒成立，