专题06 数列-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（山东专用）

专题06 数列 一、单选题 1．（2023·山东菏泽·统考一模）2020年12月17日凌晨1时59分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数是（ ）（，） A. 40 B. 41 C. 42 D. 43 【答案】C 【解析】 【分析】 设对折次时，纸的厚度为，则是以为首项，公比为的等比数列， 求出的通项，解不等式即可求解 【详解】设对折次时，纸的厚度为，每次对折厚度变为原来的倍， 由题意知是以为首项，公比为的等比数列， 所以， 令， 即，所以，即， 解得：， 所以至少对折的次数是， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可. 2. （2023·山东济南·统考一模）已知等比数列的前n项积为，，公比，则取最大值时n的值为（    ） A．3 B．6 C．4或5 D．6或7 【答案】C 【分析】先求出等比数列通项公式，进而得到，求出答案. 【详解】， 故， 因为，所以或5时，取得最大值. 故选：C 3. （2023·山东济宁·统考一模）已知等差数列的前5项和，且满足，则等差数列{an}的公差为（ ） A. -3 B. -1 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，，解得答案. 【详解】；，解得，. 故选：D 4.（2023·山东泰安·统考一模）已知数列的前n项和为，，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定递推公式求出即可计算作答. 【详解】因数列的前n项和为，，，则， ，， 所以. 故选：D 5.（2023·山东日照·统考一模）已知数列的前项和为，且满足，，设，若存在正整数，使得，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的递推公式得出，然后根据等差数列的性质进项求解即可得出结果. 【详解】数列满足，， 当时，，解得：； 当时，， 因为，所以，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，， 若存在正整数，使得，，成等差数列， 则，所以 ① 因为数列是单调递减数列， 当时，由，解得：，舍去； 当时，则，； 当时，，，所以，①式不成立， 所以，则有，解得：， 故选：. 二、填空题 6.（2023·山东聊城·统考一模）记为不大于实数的最大整数，已知数列的通项公式为，则的前2023项的和______． 【答案】4962 【解析】 【分析】根据定义表示出由此计算出； 【详解】根据题意知： ； 故答案为：4962 7.（2023·山东潍坊·统考一模）设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】26 【解析】 【分析】根据已知结合等差数列的性质可得，进而即可得出. 【详解】由已知，所以. 则 故答案为：. 三、解答题 8.（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列为等比数列，其前项和为，且满足. （1）求值及数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，两式相减得，由，可求出的值； （2）由（1）知，由绝对值的定义结合等差数列的前项和公式即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以时，，所以. 又由数列为等比数列，所以.又因为，所以， 综上. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 当时， 所以. 9.（2023·山东烟台·统考一模）已知等比数列的各项均为正数，其前项和为，且，，成等差数列，． （1）求数列通项公式； （2）设，求数列前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用，，成等差数列以及求出首项和公比，再利用等比数列的通项公式写出即可； （2）由（1）将数列的通项公式代入中化简，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 设数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 即， 解得或， 因为各项均为正数， 所以， 所以， 由， 得， 解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以， 两式相减可得， 整理可得． 10.（2023·山东淄博·统考一模）已知数列中，，. （1）判断数列是否为等差数列，并说明理由； （2）求数列的前项和 【答案】（1）是等差数列，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据数列的递推公式即可求解； (2)结合（1）的结论得出，然后利用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，以为公差的等差数列； 【小问2详解】 由（1）知： 数列的通项