专题04 函数-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（山东专用）

专题04 函数 一、单选题 1. （2023·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，则，.然后证明在上恒成立.令，根据复合函数的单调性可知在上单调递减，即可得出.令，根据导函数可得在上单调递减，即可推得. 【详解】由已知可得，，则， 且，所以. 又，. 令，，则恒成立， 所以，在上单调递增，所以，所以. 所以，，即. 令，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减，且， 根据复合函数的单调性可知，函数在上单调递减， 所以在上单调递减. 又，，所以. 因为在上单调递减，，所以. 又，所以，即. 令，，则恒成立， 所以，在上单调递减. 又，， 所以. 综上可得，. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：证明在上恒成立.然后即可采用放缩法构造函数，进而根据函数的单调性得出大小关系. 2.（2023·山东济南·统考一模）自然数的位数为（参考数据：）（    ） A．607 B．608 C．609 D．610 【答案】C 【分析】由题意求出的值，可将写成，即可得到结果. 【详解】因为， 所以，即的位数为. 故选:C 3.（2023·山东济南·统考一模）函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得，令，，可得出，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由可得，即， 因为且，则， 令，令，则， ， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 因为， ， 令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的零点个数为，即函数的零点个数为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 4. （2023·山东济宁·统考一模）若函数且在区间内单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，利用导数求出函数的单调区间，再分和两种情况讨论，结合复合函数的单调性即可得解. 【详解】令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递减，在上递增， 当时，为增函数，且函数在区间内单调递增， 所以，解得， 此时在上递增，则恒成立， 当时，为减函数，且函数在区间内单调递增， 所以，无解， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 5. （2023·山东聊城·统考一模）“绿色出行，低碳环保”已成为新的时尚．近几年国家相继出台了一系列的环保政策，在汽车行业提出了重点扶持新能源汽车和最终停止传统汽车销售的时间计划表，为新能源汽车行业的发展开辟了广阔的前景．新能源汽车主要指电动力汽车，其能量来源于蓄电池．已知蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）、放电电流（单位：）三者之间满足关系．假设某款电动汽车的蓄电池容量为，正常行驶时放电电源为，那么该汽车能持续行驶的时间大约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意蓄电池的容量C，再把代入，结合指数与对数的运算性质即可得解. 【详解】由，,时，；， .又, 故选：C. 6. （2023·山东聊城·统考一模）设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性和构造函数并证明单调性即可求解. 【详解】 令， 所以， 令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 所以， 令， 所以， 所以在单调递增， ， 所以， 所以， 所以， 所以， 故选：B. 【点睛】方法点睛：本题应用构造函数比较大小，需要注意控制变量的唯一性. 7. （2023·山东临沂·统考一模）已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，由零点存在定理求得零点x的范围，即可结合指数函数、幂函数的性质比较的大小. 【详解】令，则在R上单调递增， 由，则时，即，而， ∵， ∴. . 综上：. 故选：B. 8. （2023·山东青岛·统考一模）定义域为R的函数满足：当时，，且对任意实数x，均有，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】