第一章 第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件 [高考要求]　1.理解命题的概念.2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义． [对应学生用书P4] 知识点一　四种命题及其相互关系 1．四种命题间的相互关系 2．四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； (2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 知识点二　充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 p_q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p 1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论． 2．区分A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同． 3．A是B的充分不必要条件⇔¬B是¬A的充分不必要条件． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)语句“2a＋1>0”是命题．(　　) (2)语句“2022≥2021”是真命题．(　　) (3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．(　　) (4)已知集合A，B，则A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (5)p是q的充分不必要条件等价于¬q是¬p的充分不必要条件．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(课本习题改编)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　) A．若a≤b，则a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，则a≤b C．若a＋c>b＋c，则a>b D．若a>b，则a＋c≤b＋c 解析　命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”． 答案　A 3．(1)x>0是x(x＋1)>0的________条件． (2)|a|>0是a>0的________条件． (3)a>β是sin α>sin β的________条件． 答案　(1)充分不必要　(2)必要不充分　(3)既不充分也不必要 4．(易错)命题“若向量a＋b与a－b平行，则a＋b＝λ(a－b)”的逆否命题是________________． 答案　若a＋b≠λ(a－b)，则向量a＋b与a－b不平行 5．(活用结论)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 解析　由已知，可得{x|2<x<3}{x|x>a}， ∴a≤2. 答案　(－∞，2] [对应学生用书P5] 考点一　命题及其关系(自主练透) 1．命题“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题是(　　) A．若xy＝0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x≠0，则xy≠0 解析　“若xy＝0，则x＝0”的逆否命题为“若x≠0，则xy≠0”． 答案　D 2．以下命题： ①“若f(x)是奇函数，则f(－x)也是奇函数”的逆命题； ②“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题； ③“正三角形的三个内角均为60°”的否命题； ④“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的逆否命题． 其中真命题的序号是________． 解析　对于①，其逆命题为“若f(－x)是奇函数，f(x)也是奇函数”，∵f(x)＝－f(－x)，∴f(－x)＝－f(x)，故①为真命题；对于②，“若x，y是偶数，则x＋y也是偶数”的否命题为“若x，y不都是偶数，则x＋y不是偶数”．由x，y均为奇数时，x＋y为偶数，故②为假命题；对于③，由逆命题“三个内角均为60°的三角形为正三角形”为真命题，可得其否命题也为真命题，故③为真命题；对于④，只需证明原命题为真，∵a＋b＋c＝3，∴(a＋b＋c)2＝9.∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝9，从而3(a2＋b2＋c2)≥9，∴a2＋b2＋c2≥3，故④为真命题． 答案　①③④ 3．命题p：若m≤a－2，则m<－1.若p的逆否命题为真命题，则a的取值范围是________． 解析　依题意，命题p的逆否命题为真命题，则命题p为真命题，即若m≤a－2，则m<－1为真命题，则a－2<－1，解得a<1. 答案　(－∞，1) 4．关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题： 甲：x＝1是该方程的根； 乙：x＝3是该方程的根； 丙：该方程两根之和为2； 丁：该方程两根异号． 如果只有一个假命题，则该命题是________． 解析　若甲是假命题，则乙、丙、丁是真命题， 则x1＝3.x2＝－1，符合题意． 若乙是假命题，则甲、