第七章 第二节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第二节　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 [高考要求]　1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决． [对应学生用书P130] 知识点一　二元一次不等式表示的平面区域 1．一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． 2．对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 知识点二　线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件 由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数 欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数 关于x，y的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 直线l：f(x，y)＝ax＋by＋c＝0将平面分成两个区域，则 (1)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l的同侧⇔f(x1，y1)·f(x2，y2)>0. (2)点A(x1，y1)，B(x2，y2)在直线l的异侧⇔f(x1，y1)·f(x2，y2)<0. (3)点A(x1，y1)或B(x2，y2)在直线l上⇔f(x1，y1)·f(x2，y2)＝0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．(　　) (2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(　　) (3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(　　) (4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy<0表示.(　　) (5)线性目标函数的最优解是唯一的．(　　) (6)最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解．(　　) (7)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√　(7)× 2．(活用结论)若点A(1，1)，B(－1，b)位于直线2x－3y＋4＝0的同侧，则实数b的取值范围是________． 解析　由(2×1－3×1＋4)×[2×(－1)－3b＋4]>0，得2－3b>0，∴b<. 答案　 3．(教材改编)设不等式组所表示的平面区域为D，则区域D的面积为________． 解析　 如图，画出可行域．易得A，B(0，2)，C(0，4)，所以可行域D的面积为×2×＝. 答案　 4．若x，y满足约束条件则z＝x＋7y的最大值为________． 解析　法一　作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，由得故A(1，0).作出直线x＋7y＝0，数形结合可知，当直线z＝x＋7y过点A时，z＝x＋7y取得最大值，为1. 法二　作出可行域，如图中阴影部分(包含边界)所示，易得A(1，0)，B(0，－1)，C，当直线z＝x＋7y过点A时，z＝1；当直线z＝x＋7y过点B时，z＝－7；当直线z＝x＋7y过点C时，z＝－7＝－.所以z＝x＋7y的最大值为1. 答案　1 [对应学生用书P131] 考点一　用二元一次不等式(组)表示平面区域(师生共研) 　画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出x，y的取值范围； (2)求所围成的平面区域的面积； (3)平面区域内有多少个整点？ [解析]　(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0及右下方的平面区域．x＋y≥0表示直线x＋y＝0及右上方的平面区域，x≤3表示直线x＝3及左方的平面区域．所以不等式组表示的平面区域如图所示． 结合图中的可行域得x∈，y∈[－3，8]. (2)由(1)知，x∈，y∈[－3，8]， ∴S＝(3＋8)＝. (3)由图形及不等式组知 当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点； 当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点； 当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点； 当