第九章 第八节 第1课时　范围与最值问题-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第八节　圆锥曲线中的综合问题 第1课时　范围与最值问题 [对应学生用书P198] 考点一　范围问题(师生共研) 　(2022·泉州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，直线x＋y－1＝0被以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为. (1)求椭圆C的方程； (2)过点M(4，0)的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范围． [解析]　(1)因为原点到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝， 所以＋＝b2(b>0)，解得b＝1. 又e2＝＝1－＝，解得a＝2. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1. (2)当直线l的斜率为0时，λ＝|MA|·|MB|＝12. 当直线l的斜率不为0时，设直线l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程得(m2＋4)y2＋8my＋12＝0. 由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12， 所以y1y2＝. λ＝|MA|·|MB|＝|y1|·|y2| ＝(m2＋1)·|y1y2|＝＝12. 由m2>12，得0<<，所以<λ<12. 综上，λ的取值范围是. [方法策略] 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围. 设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程； (2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围． 解析　(1)因为|AD|＝|AC|，EB∥AC， 故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|， 故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圆A的标准方程为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4. 由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为＋＝1(y≠0). (2)当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2). 由 得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. Δ>0恒成立，则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)， 点A到m的距离为， 所以|PQ|＝2＝4.故四边形MPNQ的面积 S＝|MN||PQ|＝12. 可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8).当l与x轴垂直时，其方程为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四边形MPNQ的面积为12. 综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8). 考点二　最值问题(多维探究) 角度一　几何法求最值 　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)，点A为其左顶点，且AM的斜率为. (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． [解析]　(1)由题意可知直线AM的方程为y－3＝(x－2)， 即x－2y＝－4. 当y＝0时，解得x＝－4，所以a＝4. 由椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(2，3)， 可得＋＝1，解得b2＝12. 所以C的方程为＋＝1. (2)设与直线AM平行的直线方程为x－2y＝m. 如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值． 联立可得3(m＋2y)2＋4y2＝48， 化简可得16y2＋12my＋3m2－48＝0， 所以Δ＝144m2－4×16(3m2－48)＝0， 即m2＝64，解得m＝±8， 与AM距离比较远的直线方程为x－2y＝8， 点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离， 即d＝＝， 由两点之间的距离公式可得 |AM|＝＝3. 所以△AMN的面积的最大值为×3×＝18. 角度二　代数法求最值 　(2022·浙江卷)如图，已知椭圆＋y2＝1.设A，B是椭圆上异于P(0，1)的两点，且点Q在线段AB上，直线PA，PB分别交直线y＝－x＋3于C，D两点． (Ⅰ)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (Ⅱ)求|CD|的最小值． [解析]　(Ⅰ)设E(2cos θ，sin θ)是椭圆上一点，P(0，1)， 所以|PE|2＝12cos2θ＋(1