第二章 第一节 第2课时　函数的定义域与值域-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第2课时　函数的定义域与值域 [对应学生用书P14] 考点一　函数的定义域(自主练透) 1．函数f(x)＝ln (4x－x2)＋的定义域为(　　) A．(0，4) B．[0，2)∪(2，4] C．(0，2)∪(2，4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析　要使函数有意义，则 解得0<x<4且x≠2. 答案　C 2．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析　∵函数y＝的定义域为R，∴mx2＋4mx＋3≠0，∴m＝0或即m＝0或0<m<，∴实数m的取值范围是. 答案　D 3．已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　) A．(－1，1) B． C．(－1，0) D． 解析　令u＝2x＋1，由f(x)的定义域为(－1，0)，可知－1<u<0，即－1<2x＋1<0，得－1<x<－. 答案　B [练后悟通] (1)根据具体的函数解析式求定义域的策略 已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可． (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域． (3)求函数定义域应注意的问题 ①不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化； ②定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 考点二　函数的值域(师生共研) 　求下列函数的值域： (1)y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)； (2)y＝； (3)y＝2x－； (4)y＝＋. [解析]　(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)， 再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). (2)(分离常数法)y＝＝＝2＋， 显然≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). (3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2＋， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示).可得函数的值域为. (4)函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数， ∴y＝＋在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞). [方法策略] 求函数值域的一般方法 (1)分离常数法．(2)配方法．(3)不等式法．(4)单调性法．(5)换元法．(6)数形结合法．(7)导数法． 求下列函数的值域： (1)y＝； (2)y＝logx＋，x∈[1，2)； (3)y＝(x>1). 解析　(1)法一　y＝＝1－， ∵2x>0，∴2x＋1>1. ∴0<<2，∴－1<1－<1， ∴函数的值域为(－1，1). 法二　由y＝，得2x＝，又∵2x>0. ∴>0，即(y＋1)(y－1)<0，即－1<y<1. ∴函数的值域为(－1，1). (2)函数y＝logx＋在[1，2)上为减函数， 当x＝1时，y＝，当x＝2时，y＝－1＋＝－， ∴－<y≤，∴函数的值域为. (3)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1， ∴y＝＝ ＝t＋＋1≥2＋1， 当且仅当t＝即t＝时取等号， ∴函数的值域为[2＋1，＋∞). 考点三　定义域与值域的应用(师生共研) 　(1)(2022·广州模拟)若函数f(x)＝的定义域为{x|1≤x≤2}，则a＋b的值为________． (2)已知函数y＝的值域为[0，＋∞)，求a的取值范围． [解析]　(1)函数f(x)的定义域是不等式ax2＋abx＋b≥0的解集． 不等式ax2＋abx＋b≥0的解集为{x|1≤x≤2}， 所以解得 所以a＋b＝－－3＝－. (2)令t＝g(x)＝x2＋ax－1＋2a， 要使函数y＝的值域为[0，＋∞). 则说明[0，＋∞)⊆{y|y＝g(x)}， 即函数g(x)对应的一元二次方程的判别式Δ≥0， 即a2－4(2a－1)≥0，即a2－8a＋4≥0， 解得a≥4＋2或a≤4－2， ∴a的取值范围是{a|a≥4＋2或a≤4－2}． [答案]　(1)－　(2)见解析 [方法策略] 已知函数的定义域、值域求参数问题，可通过分析函数解析式的结构特征，结合函数的图象、性质，转化为含参数的方程(组)、不等式(组)，然后求解． 1．若函数f(x)＝ln (ax－1)在(2，＋∞)上有意义，则实数a的取值范围为________． 解析　要使函数f(x)＝ln (ax－1)有意义，则ax－1>0， 即ax－1>0在(2，＋∞)上恒成立