第二章 第一节 第1课时　函数的概念及其表示-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第1课时　函数的概念及其表示 [对应学生用书P12] 考点一　函数的概念(自主练透) 1．下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是(　　) 解析　A选项中的值域不满足，B选项中的定义域不满足，D选项不是函数的图象，由函数的定义可知选项C正确． 答案　C 2．在函数中，f(x)与g(x)表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x－1，g(x)＝ B．f(x)＝|x＋1|，g(x)＝ C.f(x)＝1，g(x)＝(x＋1)0 D．f(x)＝，g(x)＝()2 解析　对于A，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于B，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为R，f(x)与g(x)的定义域相同，f(x)＝|x＋1|＝对应关系相同，则f(x)与g(x)是同一函数；对于C，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≠－1}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数；对于D，函数f(x)的定义域为R，g(x)的定义域为{x|x≥0}，f(x)与g(x)的定义域不相同，则不是同一函数．故选B. 答案　B 3．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________．(填序号) ①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；③f：x→y＝x； ④f：x→y＝. 解析　③中，f：x→y＝x，x∈[0，4]时，y＝x∈⃘Q，故不满足函数的定义． 答案　③ [练后悟通] (1)函数的定义要求第一个非空数集A中的任何一个元素在第二个非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素． (2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同． 考点二　求函数的解析式(师生互动) 　求下列函数的解析式： (1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式； (4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式． [解析]　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2，x∈[0，2]. (2)(配凑法)∵f＝x2＋＝－2， ∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， 可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∵3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17. 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴解得 ∴f(x)＝2x＋7. (4)(方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，　① ∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，　② 由①②解得f(x)＝3x. [方法策略] 函数解析式的求法 (1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围． (3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法． (4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x). 1．已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________． 解析　令＋1＝t，由于x>0，所以t>1且x＝，所以f(t)＝lg (t>1)，即f(x)＝lg (x>1). 答案　f(x)＝lg (x>1) 2．设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实数根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式． 解析　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2， 所以a＝1，b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋c. 又方程f(x)＝0有两个相等的实数根， 所以Δ＝4－4c＝0，解得c＝1， 故f(x)＝x2＋2x＋1. 考点三　分段函数(多维探究) 角度一　求分段函数的函数值 　(2022·昆明模拟)已知函数f(x)＝则f[f(0)]＝(　　) A． B． C． D． [解析]　因为f(x)＝所以f[f(0)]＝f＝sin ＝.故选C. [答案]　C 角度二　分段函数与方程、不等式问题 　(1)(2022·西安模拟)已知f(x)