第二章 第五节　幂函数与二次函数-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第五节　幂函数与二次函数 [高考要求]　1.了解幂函数的概念.2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，了解它们的变化情况.3.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． [对应学生用书P30] 知识点一　幂函数 1．幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 2．常见的五种幂函数的图象和性质比较 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 图象 性质 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调性 在R上 单调递 增　　 在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 在[0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 公共点 (1，1) 知识点二　二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 设函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若对区间[a，b]有f(a)≥0，f(b)≤0，则曲线必与x轴相交(至少有一个交点，且交点必在[a，b]上). 设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的两根，根的分布对照y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象，知其等价不等式组的关系是： ①若x1<x2<m，则Δ>0，f(m)>0，－<m； ②若m<x1<x2，则Δ>0，f(m)>0，－>m； ③若x1<m<x2，则Δ>0，f(m)<0； ④若x1，x2∈(m1，m2)，则Δ>0，f(m1)>0， f(m2)>0，m1<－<m2； ⑤若x1，x2有且仅有一个在(m1，m2)内，则Δ>0，f(x1)·f(m2)<0. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是幂函数．(　　) (2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是.(　　) (4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　) A． B．1 C． D．2 解析　由幂函数的定义，知 ∴k＝1，α＝.∴k＋α＝. 答案　C 3．如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c<b<a B．a<b<c C．b<c<a D．a<c<b 答案　D 4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________． 解析　由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]， 得g(x)在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数， 所以g(x)min＝g(1)＝－1， 因为g(0)＝0，g(3)＝3， 所以g(x)在x∈[0，3]上的值域为[－1，3]. 答案　[－1，3] 5．(易错)函数y＝x2－ax＋1在区间[－1，2]内单调，则实数a的取值范围是________． 解析　函数y＝x2－ax＋1的对称轴为x＝， 则≤－1或≥2，解得a≤－2或a≥4. 答案　(－∞，－2]∪[4，＋∞) [对应学生用书P31] 考点一　幂函数的图象与性质(自主练透) 1．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是(　　) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0) 解析　设f(x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D. 答案　D 2．幂函数的图象如图所示，则实数m的值为(　　) A．3 B．0 C．1 D．2 解析　∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z，∴m＝0，1，2.而当m＝0或2时，f(x)＝x－3为奇函数，当m＝1时，f(x)＝x－4为偶函数．∴m＝1. 答案　C 3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 解析　幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα