第二章 第三节　奇偶性、对称性与周期性-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第三节　奇偶性、对称性与周期性 [高考要求]　1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.2.会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性． [对应学生用书P22] 知识点一　函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于y轴对称 关于原点对称 知识点二　函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [微提醒]　并不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 1．奇(偶)函数定义的等价形式 (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔f(x)为偶函数． (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔f(x)为奇函数． 2．设f(x)的最小正周期为T，对f(x)的定义域内任一自变量的值x，有如下结论 (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|. (2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|. (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 3．对称性与周期性之间的常用结论 (1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则函数f(x)的最小正周期T＝2|b－a|. (2)若函数f(x)的图象关于点(a，0)和点(b，0)对称，则函数f(x)的最小正周期T＝2|b－a|. (3)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和点(b，0)对称，则函数f(x)的最小正周期T＝4|b－a|. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.(　　) (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)的图象关于直线x＝a对称．(　　) (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称．(　　) (4)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，若在(－∞，0)上是减函数，则在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (5)若T为y＝f(x)的一个周期，那么nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√　(5)√ 2．(教材改编)下列函数中为偶函数的是(　　) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析　根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B. 答案　B 3．(教材改编) 设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________． 解析　由题图可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x<0时，f(x)<0；当－5≤x<－2时，f(x)>0.综上，f(x)<0的解集为(－2，0)∪(2，5]. 答案　(－2，0)∪(2，5] 4．(活用结论)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x＋1)＝f(x－3)，当x∈(－2，0)时，f(x)＝－2x，则f(1)＋f(4)＝________． 解析　由于f(x＋1)＝f(x－3)，故f(x)＝f(x－4)，故函数f(x)是周期为4的周期函数，又f(x)为奇函数，故f(1)＋f(4)＝－f(－1)＋f(0)＝2－1＋0＝. 答案　 [对应学生用书P23] 考点一　判断函数的奇偶性(师生互动) 　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＝； (2)f(x)＝ln ； (3)f(x)＝ (4)f(x)＝log2(x＋). [解析]　(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}，关于原点对称． 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)f(x)的定义域为(－2，2)，关于原点对称， f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)， ∴函数f(x)为奇函数． (3)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x<0时，－x>0， 则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时