第二章 第七节　对数与对数函数-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第七节　对数与对数函数 [高考要求]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1). [对应学生用书P37] 知识点一　对数 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N. 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N． 2．对数的性质与运算性质 (1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0). (2)对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R). (3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). [微提醒]　(1)应用换底公式时，一般选用e或10作为底数．(2)表中有关公式均是在式子中所有对数符号有意义的前提下成立． 知识点二　对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 [微提醒]　当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论． 知识点三　反函数 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． [微提醒]　(1)函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称． (2)函数y＝ax与y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称． (3)函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称. 1．对数的性质(a>0且a≠1) (1)loga1＝0.(2)logaa＝1.(3)alogaN＝N. 2．换底公式及其推论 (1)logab＝(a，c均大于0且不等于1，b>0). (2)logab·logba＝1，即logab＝. (3)logbn＝logab. (4)logab·logbc·logcd＝logad. 3．对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN＞0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.(　　) (2)对函数y＝logax(a＞0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(　　) (3)函数y＝ln 与函数y＝ln (1＋x)－ln (1－x)是相等函数．(　　) (4)对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 2．已知，b＝log2，c＝log，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>b>a D．c>a>b 解析　∵0<a<1，b＝log2＝－log23<0， c＝log＝log23>1.∴c>a>b. 答案　D 3．(教材改编)函数y＝的定义域是________． 解析　由log(2x－1)≥0，得0<2x－1≤1. ∴<x≤1. ∴函数y＝的定义域是. 答案　 4．(活用结论)计算：(log29)·(log34)＝________． 解析　(log29)·(log34)＝×＝×＝4. 答案　4 5．(易错)设函数f(x)＝3x＋9x，则f(log32)＝________． 解析　∵函数f(x)＝3x＋9x， ∴f(log32)＝3log32＋9log32＝2＋9log94＝2＋4＝6. 答案　6 [对应学生用书P38] 考点一　对数式的运算(师生共研) 　计算： (1)lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2； (3)若log147＝a，14b＝5，则用a，b表示log3528＝______． [解析]　(1)原式＝2lg 5＋(lg 5＋1)＋lg 2(2＋lg 5)＋(lg 2)2＝1＋3lg 5＋2lg 2＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝1＋3lg 5＋3lg 2＝1＋3(lg