第二章 第六节　指数与指数函数-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版文科）

第六节　指数与指数函数 [高考要求]　1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点.4.知道指数函数是一类重要的函数模型． [对应学生用书P34] 知识点一　根式 1．一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． 2．式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 3．()n＝a． 当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二　有理数指数幂 1．分数指数幂 正数的正分数指数幂，a＝(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂， (a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 2．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q). 知识点三　指数函数及其性质 1．概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． 2．指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在R上是增函数 在R上是减函数 [微提醒]　(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论．(2)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) ＝π－4.(　　) (2)(－1)＝(－1)＝.(　　) (3)函数y＝a－x(a>0，且a≠1)是R上的增函数．(　　) (4)函数y＝ax(a>0，且a≠1)与x轴有且只有一个交点.(　　) (5)若am>an，则m>n.(　　) (6)函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√ 2．(教材改编)化简(x<0，y<0)得(　　) A．2x2y B．2xy C．4x2y D．－2x2y 答案　D 3．(易错)若函数f(x)＝(a2－3)·ax为指数函数，则a＝________． 解析　依题意解得a＝2. 答案　2 4．(教材改编)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________． 答案　(1，3) 5．已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是________． 解析　∵y＝是R上的减函数， ∴>>， 即a>b>1， 又c＝<＝1， ∴c<b<a. 答案　c<b<a 6．(易错)函数f(x)＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝________． 解析　当a>1时，f(x)＝ax为增函数， 则a1＝2，∴a＝2满足题意， 当0<a<1时，f(x)＝ax为减函数， 则a－1＝2，∴a＝满足题意，综上有a＝2或. 答案　2或 [对应学生用书P35] 考点一　指数幂的运算(自主练透) 1．计算：8－＋＋[(－2)6]＝________． 解析　原式＝(23) －1＋|3－π|＋(26) ＝4－1＋π－3＋23＝π＋8. 答案　π＋8 2．计算：________(a>0，b>0). 解析 答案　 答案　 [练后悟通] 指数幂的运算技巧 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一化为分数指数幂，以便利用法则计算．但应注意：①必须同底指数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时．先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 考点二　指数函数的图象及应用(多维探究) 角度一　图象的识别 　(1)定义运算a⊕b＝则函数f(x)＝1⊕2x的图象是(　　) (2)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　) A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0 [解析]　(1)因为当x≤0时，2x≤1； 当x>0时，2x>1. 所以f(x)＝1⊕2x＝故选A. (2)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1. 又f(0)＝a－b<a0，所以－b>0，即b<0. [答案]　(1)A　(2)D 角度二　图象的应用 　若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． [解析]　 函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象