第十一章 第二节　数系的扩充与复数的引入-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

第二节　数系的扩充与复数的引入 [高考要求] 1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.能进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义． [对应学生用书P247] 知识点一　复数的有关概念 1．定义：复数z＝a＋bi(a，b∈R)，实部a，虚部b. 2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类： 复数z 3．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． 4．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． 5．模：|z|＝. [微提醒]　(1)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0. (2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件． 知识点二　复数的运算 1．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. (3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. (4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． 2．复数加法的运算定律 设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律： (1)交换律：z1＋z2＝z2＋z1. (2)结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 知识点三　复数的几何意义 [微提醒]　复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是(a，bi)． 1．i的乘方的周期性 in＝(k∈Z) 2．复数的模与共轭复数的关系 z·＝|z|2＝||2. 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(　　) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．(　　) (3)原点是实轴与虚轴的交点．(　　) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(　　) (5)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应的点在第四象限．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．复数的虚部是(　　) A．－ B．－ C. D． 解析　＝＝＝＋i，所以虚部为. 答案　D 3．(教材改编)＝(　　) A．－－i B．－＋i C．－－i D．－＋i 解析　＝＝＝－＋i. 答案　D 4．(易错)已知z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－1,1) B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 解析　要使复数z对应的点在第四象限，应满足解得－1<m<1. 答案　A 5．(2022·新高考全国卷Ⅰ)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析　对原式两边同时乘以i得：z－1＝i，即z＝1＋i，所以＝1－i，即z＋＝2.故选D. 答案　D [对应学生用书P249] 考点一　复数的有关概念(师生共研) 　(1)若为实数，则实数a的值为(　　) A．2 B．－ C. D．－2 (2)已知z(1＋i)＝1＋ai，i为虚数单位，若z为纯虚数，则实数a＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 (3)已知a＋bi(a，b∈R)是的共轭复数，则a＋b等于(　　) A．－1 B．－ C. D．1 [解析]　(1)＝＝＋i， 因为为实数，所以＝0，解得a＝－.故选B. (2)法一　因为z(1＋i)＝1＋ai，所以z＝＝＝，因为z为纯虚数， 所以＝0且≠0，解得a＝－1，故选A. 法二　设z＝x＋yi(x∈R，y∈R)，因为z(1＋i)＝1＋ai，所以(x＋yi)(1＋i)＝1＋ai，即(x－y)＋(x＋y)i＝1＋ai，由复数相等的充要条件可得解得因为z为纯虚数， 所以x＝0且y≠0，解得a＝－1，故选A. 法三　因为z为纯虚数， 所以可设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则z(1＋i)＝1＋ai，即 bi(1＋i)＝1＋ai，所以－b＋bi＝1＋ai，所以 解得a＝b＝－1，故选A. (3)由＝i，从而知a＋bi＝－i，由复数相等得a＝0，b＝－1，从而a＋b＝－1. [答案]　(1)B　(2)A　(3)A [方法策略] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题 (1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b，复数z的模|z|＝|a＋bi|＝. (2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准