第三章 第二节 第3课时　利用导数证明不等式-（教师用书）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

第3课时　利用导数证明不等式 [对应学生用书P62] 考点一　构造函数证明不等式(师生共研) 　已知函数f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直． (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. [解析]　(1)因为f(x)＝1－，x>0， 所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 因为g(x)＝＋－bx，所以g′(x)＝－－－b， 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1， 所以g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1， 解得a＝－1，b＝－1. (2)证明　由(1)知，g(x)＝－＋＋x， 则f(x)＋g(x)≥⇔1－－－＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)， 则h(1)＝0，h′(x)＝＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增， 所以当x≥1时，h(x)≥h(1)＝0， 即1－－－＋x≥0， 所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. [方法策略] 待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． 已知函数f(x)＝ex＋1－x3，g(x)＝ln (x＋1)＋2.求证：f(x)>g(x)－x3. 证明　设h(x)＝f(x)－g(x)＋x3＝ex＋1－ln (x＋1)－2，则h′(x)＝ex＋1－(x＞－1). 设p(x)＝ex＋1－(x>－1)，则p′(x)＝ex＋1＋>0. 所以函数p(x)＝h′(x)＝ex＋1－在(－1，＋∞)上单调递增． 因为h′＝e－2<0，h′(0)＝e－1>0， 所以函数h′(x)＝ex＋1－在(－1，＋∞)上有唯一零点x0，且x0∈. 因为h′(x0)＝0，所以＝， 即ln (x0＋1)＝－(x0＋1). 当x∈(－1，x0)时，h′(x)<0，h(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以当x＝x0时，h(x)取得最小值h(x0). 所以h(x)≥h(x0)＝－ln (x0＋1)－2＝＋(x0＋1)－2>0. 综上可知，f(x)>g(x)－x3. 考点二　将不等式转化为两个函数的最值进(师生共研) 　已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. [解析]　(1)f′(x)＝－a(x>0). ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0，当x>时， f′(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　因为x>0， 所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增， 在(1，＋∞)上单调递减． 所以f(x)max＝f(1)＝－e， 记g(x)＝－2e(x>0)，则g′(x)＝， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e， 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. [方法策略] (1)若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．本例中同时含ln x与ex，不能直接构造函数，把指数与对数分离两边，分别计算它们的最值，借助最值进行证明． (2)在证明过程中，等价转化是关键，此处g(x)min＝f(x)max恒成立．从而f(x)≤g(x)恒成立． 已知f(x)＝x ln x. (1)求函数f(x)的极值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． 解析　(1)由f(x)＝x ln x，x>0，得f′(x)＝ln x＋1，令f′(x)＝0，得x＝.当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ∴f(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴当x＝时，f(x)取极小值， f(x)极小值＝f＝－，无极大值． (2)证明　问题等价于证明x ln x>－(x∈(0，＋∞)). 由(1)可知f(x)＝x ln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－， 当且仅当x＝时取到． 设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))，则m′(x)＝ 由m′(x)<0，得x>1时，m(x)单调递减， 由m′(x)>0得0<x<1时，m(x)单调