第21章 一元二次方程——典型例题1 讲义 2022---2023学年人教版数学九年级上册

初三典型题讲与练（1） 一元二次方程典型例题（1） 一元二次方程概念：（） 1. 判别一元二次方程：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2. 2. 一般形式：（）；其中为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项. ✬特点：方程右边是，方程左边是关于的二次整式；当二次项系数时，则方程变为一元一次方程. 3. 配方法解一元二次方程：一般步骤 一般步骤 方法 例： 一移 移项 将常数项移到右边，含未知数的移项到左边 二化 二次项系数化为1 左、右两边同时除以二次项系数 三配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 即 四开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 ， 4. 配方法的应用： （1） 利用配方法求代数式的最值 结论：①，，则当时取最小值 ②当时，，，则当时取最小值 ③当时，，，则当时取最大值 例：当为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？ 解： ∵ ∴当，即时， 代数式有最小值，最小值为. 5. 一元二次方程根的判别式的应用： （1） 将（）配方成后，可以看出，只有当时，方程才有实数根，这样的值就决定着一元二次方程根的情况. （2） 根的情况关系： ①时，方程有两个不相等的实数根； ②时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根； ④时，方程有实数根. 6. 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 方程（）的根与系数的关系：方程的根分别为， 1. 求根公式：；， ① ② 所以、 2. 常见的代数式的变形： ①； ② ③ ④ ⑤ ⑥ 例题讲解 例1：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围. 例2：已知关于的方程.求证：无论取任意实数，该方程总有两个实数根. 例3：已知关于的方程. （1） 若该方程的一个根为，求的值. （2） 求证：不论取何实数，该方程总有两个实数根. 例4：已知关于的一元二次方程总有实数根. （1） 求的取值范围； （2） 在（1）的条件下，当在取值范围内取最小整数时，求原方程的解. 例5：已知关于的一元二次方程，若方程的两个实数根分别是，，且满足，求实数的值. 例6：已知关于的方程，设方程的两个根分别是，，若成立，求的取值范围. 例7：已知关于的一元二次方程，若是方程的一个根，求的值和方程的另一个根. 例8：已知关于的一元二次方程的两根的平方和是，求的值. 例9：当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？（配方法） 学科网（北京）股份有限公司 $