2022-2023学年高二物理竞赛课件：变量的分离

变量的分离 变量的分离 目的：求解Hamilton-Jacobi一阶偏微分方程。 讨论两种可分离变量的情况。 1. Hamilton函数不显含时间 t 和变量q1, q2,…, ql 的情形 首先，当Hamilton函数 H 中不含时间 t ，必存在能量积分 ( 常量 ) 于是Hamilton-Jacobi方程可写成： 或 由于 H 中不显含 t ，故 也不显含 t, 故可设 2 *** 对***的第一式积分，得 如果方程的变量可以全部分离，则可逐次应用上面的方法，最后得到母函数的形式为 式中 c 为任意常数。 3 例 质量为m的质点在有势力场中运动，已知势能函数为 式中 , β为常量，r 为质点的矢径，z 为它的直角坐标的 z 分量。试求该系统的Hamilton-Jacobi方程的全积分。 解：取球坐标r , θ, φ为广义坐标，在球坐标中 则 因为 而 则 4 所以 则 质点的动能 质点的势能 则 由广义动量定义 得到: 则 5 Hamilton函数 母函数设为 变换关系为 则 代入Hamilton函数 H 中 6 7 例：已知均质圆柱A与滑轮B的质量均为m1，半径相同，圆柱A向下作纯滚动，物体C的质量为m2，斜面不光滑，A、B轮轴处摩擦不计。求圆柱A质心加速度及绳子对C物的拉力。 解：（1）分别取圆柱A、滑轮B球 和物体C为研究对象 （2）受力分析、运动分析 滑轮B 物体C 圆柱A vA,C vC 约束条件：纯滚动、绳子刚性（不可伸长） 达朗伯原理的坐标系是选在与质点无相对运动上的 推论： ① ② 达朗伯原理 n 动静法 8 9 例、长为2L的均质棒，一端抵在光滑墙上，而棒身则如图示斜靠在与墙相距为d（d≤Lcosq）的光滑棱角上。用虚功原理求出棒在平衡时与水平面所成的角q。 解： 虚功原理方程 理想约束： 0 10 11 完整约束的第二类拉格朗日方程 一、两个数学关系 ① ② 激光器类型： 气体激光器(He-Ne, Ar+, CO2, 准分子等) 液体激光器(染料) 固体激光器(红宝石，钇铝石榴石(YAG)等) 半导体激光器(GaAs) 自由电子激光器 主要组成部分：激励能源、工作物质、谐振腔 12 $