2022-2023学年高二物理竞赛课件：用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换

用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange 括号和Poisson括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 用poisson括号判别正则变换 2 母函数 F4( p , P, t ) 以 F3( q , P , t )为旧变量的函数，此时变量以 p 代替 q ； P 保持不变，取 同理得到变换关系为 3 母函数的各种形式 例 给定正则变换的母函数 试求由母函数生成的正则变换。 解：母函数为F＝F(q, Q)，属 q, Q 型，第一种母函数形式 根据 则 4 ( a ) 而 则 即 由式(a)可解出 ( b ) ( c ) 将式( c )代入式( b)，得 5 例 取母函数为 ，试求由母函数生成的正则变换。 解：母函数为F＝F(q, Q)，属 q, Q 型，第一种母函数形式 根据 则 则q、p 与Q、P 之间的关系式为 6 例 已知 ， ，证明如下两组变换均为正则变换，并求相应的母函数 (1) (2) 解：是否为正则变换的充分必要条件是要依据下式构造母函数 F 由已知条件 故： 构造 是否存在。 7 （1）由于 因为 所以 又因 所以 代入判别式 则 即 所以 故为正则变换 8 （2）由于 则 代入判别式 又由于 得到 则 9 由 可得 将 F 代入 得 所以 ，因此 f =常数。 故母函数 F 为 由条件 得 所以 10 例 应用正则变换求解单自由度质点的线性谐振动。 解：质点的质量为m，单自由度，取 q 为广义坐标，动能和势能为 则 系统为保守系统，故 取母函数 利用变换关系有 11 联立上式，可解得 因母函数不显含时间 t ，因此有 H=H* 将q , p 代入 H 函数 则 H*= P，由此可见，经过变换后的Hamilton 函数更简洁，且存在循环坐标 Q 。对应新变量的正则方程为 积分上式，得 12 则H* = P = E 即为系统的总机械能，系统的振动规律为 由上述求解过程可以看出，正则变换后的广义坐标 Q 和广义动量 P分别为时间 t 和总机械能，已不再具有原来的意义了。 13 $