2022-2023学年高二物理竞赛课件：用Lagrange括号判别正则变换

用Lagrange括号判别正则变换 用Lagrange括号判别正则变换 1．Lagrange括号定义 考虑如下变换方程 令( q , pβ )为旧变量中的任意两个，定义Lagrange括号为 2．用Lagrange括号判定变换为正则变换 当母函数F如不含时间t 时，正则变换的充要条件为 2 即变换若为正则变换，方程左边必构成某一函数的全微分。 因为 所以判别方程的左边 要使上式成为全微分的条件是必须同时满足以下三组恒等式 3 用Lagrange括号判别正则变换 展开其中的第一组，得 进一步简化上式，并注意到 4 用Lagrange括号判别正则变换 则有 上式可用Lagrange括号表示为 同理，第二组、第三组恒等式也可表示为 于是，可得如下结论： 1) 从一组旧变量q、p到另一组新变量Q、P的变换 5 用Lagrange括号判别正则变换 如果满足关系式 则该变换是正则变换。 2) 同理，考虑变换式 若该变换是正则变换，则应满足关系式 6 用Lagrange括号判别正则变换 泊松括号定义为 其中、ψ是q1, q2, …, qk, p1, p2,…, pk, t 的函数，即 Lagrange括号定义为 通过上面两个定义比较可发现，将其中某一括号的各偏导数项上下交换位置，就可得到另一括号。而实际上两者之间确实存在一定的关系。 7 设有2k个互为独立的任意变量，u1, u2, … , uk , uk+1, u k+2, … , u2k均为广义坐标q1, q2, … , qk和广义动量p1, p2, … , pk的函数，则存在关系式 证明：由Lagrange括号和poisson括号的定义，有 其中 ， 8 于是 根据上述关系，可以得到用poisson括号判别正则变换的条件。 设 2k个ul 是q1, q2, … , qk , p1, p2, … , pk的函数，利用正则变换的充要条件 可得到如下关系式。 ① 令 ui = pi，uj = pj，则 用poisson括号判别正则变换的条件 9 ② 令 ui = pi，uj = qj，则 ③ 令ui = qi，uj = pj，则 综上所述，当从一组旧变量到另一组新变量的变换，即 时 10 如果能从 2k 个变量中找到任意两个变量所形成的泊松括号，即有 则这种变换就是正则变换。 若将qj , pj 看作Qj , Pj 的函数，利用 同理可得如下正则变换判别式 11 例 已知变换为 ， ，试用Lagrange括号判别其是否为正则变换。 解: 代入Lagrange括号判别式，得 因为=β=1，故δ11=1。显然 满足判别条件 故上述变换为正则变换。 12 例 给定变换 ， 。试用Poisson 括号判别其是否为正则变换。 解: 显然有 ， 满足判别条件 故上述变换为正则变换。 13 $