2022-2023学年高二物理竞赛课件：哈密顿－雅可比方程

哈密顿－雅可比方程 哈密顿－雅可比方程 问题：选择怎样的母函数，使变换后的Hamilton函数为零，这是Hamilton- Jacobi 方程要解决的问题。 1．Hamilton-Jacobi方程的建立 对于一个具有 k 个自由度的完整系统，Hamilton正则方程为 经过正则变换后，使 ，相应的正则方程为 如果 ，则上式可写成 直接积分可得 式中αj 、βj 为积分常数。为了达到上述目的，关键在于母函数的选择。 2 根据新、旧Hamilton函数H*、H的关系H*= H+әF/әt，母函数必须满足 母函数 F 的形式可以有四种： F1( q , Q, t ), F2( p , Q, t ), F3( q , P , t ), F4( p , P, t ) 这里取F =F3( q , P , t ) 为例，并用S( q, P, t )表示，即 将Pj=βj代入S( q, P, t ) 中，S则可表示成变量qj、常数βj和时间t的函数，即 常数 βj 可由初始条件决定。 3 于是，对应于母函数 S= F3( q , P , t ) 形式的变换关系式可写为 将 代入 就可得到 H 函数 这就是Hamilton-Jacobi方程。 4 该方程是关于k个变量q1, q2,…, qk 和时间 t 的一阶偏微分方程，其解 称为Hamilton-Jacobi方程的全积分。 当S 被解出后，将 S 代入 就可得到正则方程的解 其中包含了 2k 个由初始条件决定的积分常数。 5 注意： 1）pj 可直接由 解出； 2）qj 要由 解出时，并且其为αj、βj 和时间 t 的函数，则 S 应满足： 或 由此，将确定正则变换的母函数问题转变成了求Hamilton-Jacobi方程的全积分问题，且将变换后的新变量Q、P分别变换成为常数α和β，使相空间( qj , pj)中的相轨迹被映射到( Q , P)空间中的一个固定点，进而可直接通过变换关系得到正则方程的解。当然，能够实现这样的变换，对于得到正则方程的解是非常有用的。但困难在于对方程 的求解并不是容易的事。 6 上述内容可用Jacobi定理表达如下。 如果 是Hamilton-Jacobi方程 的全积分，则由正则变换 所决定的方程组 乃是正则方程 的解。 7 例 应用Hamilton-Jacobi方法，求解单自由度质点的线性谐振动。设系统的Hamilton函数H为 解：根据 得到Hamilton-Jacobi方程 设函数 S 的形式为 其中，β是变换后的动量，也是积分常数。 8 将 S 代入Hamilton-Jacobi方程得： 则 得 从而 又由 得 9 即 设 则 另一正则变量为: 10 代入Hamilton-Jacobi方程 由于q1, q2,…, ql为循环坐标，即q1, q2,…, ql不显含在 H 中，可进一步设: 于是Hamilton-Jacobi方程最终可写成 使Hamilton-Jacobi方程称为关于k-l 个变量及含有k+1个常数的一阶偏微分方程，这 k+1 个常数并不是独立的，而只有 k 个是独立的。 相应的母函数S（这是针对F3( q, p ,t )）为: 11 Hamilton-Jacobi方程中有一个变量及相应偏导数可以从所有其余变量和偏导数中分离出来的情形 Hamilton-Jacobi方程 可以变成： 因上式中 f1只与 q1有关，而 F1与其余变量有关，欲使上式成立，则 f1和 F1都必须是常量，即 * 12 其解的形式可写成 代入*式可得到 ** **的第一式为常微分方程，积分后得 **的第二式仍为函数W1 的偏微分方程，但其中独立变量已少了一个，即为k-1个坐标变量q2, q3 ,…, qk 和一个时间变量 t。 如果函数F1 还有可分离的变量，如q2 ，同理，可设 * 代入**的第二式，可得 13 $