2022-2023学年高二物理竞赛课件：正则变换

正则变换 正则变换 正则变换的目的：通过构造新的Hamilton函数，该系统具有更简洁的正则形式和更多的循环坐标，即得到系统更多的首次积分，且保证正则方程的形式不变。 正则变换（Canonical transformation） 母函数的各种形式 2 正则变换( Canonical transformation ) 点变换 描述同一力学系统可以采用不同的广义坐标，如q1, q2, … , qk和Q1, Q2, … , Qk，二者之间存在着一定的变换关系 上述变换是将一组旧广义坐标q1, q2, … , qk所确定的位形空间中的一个点，变换到一组新广义坐标Q1, Q2, … , Qk所确定的位形空间中的一个点。这种变换称为点变换。 点变换不影响Lagrange方程的结构。 3 正则变换( Canonical transformation ) 正则变量：q1, q2, … , qk, p1, p2, … , pk 正则变量（共轭变量）：Q1, Q2, … , Qk, P1, P2, … , Pk 变换关系： ( 正则变换 ) 对旧的正则变量，正则方程为 正则变换( Canonical transformation ) 4 通过变换，旧的Hamilton函数H=H( qj, pj, t)变换成新的Hamilton函数H*=H*( Qj, Pj, t)，且保持正则方程的形式不变，即 变量Q1, Q2, … , Qk, P1, P2, … , Pk仍称为正则变量或共轭变量。 相空间的变换并非全为正则变换，如何构成正则变换？ （两组变量需满足什么条件才能实现正则变换） 要求： 1. H*函数更简洁 2. 有更多的循环坐标 3. 新变量表示的动力学方程仍为正则的、简单、对称。 正则变换( Canonical transformation ) 5 新旧两组正则变量 q、p和Q、P均应满足Hamilton原理 即 上面两式同时成立时，两个被积函数并非完全相等，可以相差任一函数F对时间 t 的全导数。如设 F 是q、Q 和 t 的函数 由于系统在始末位置是确定的，则 正则变换( Canonical transformation ) 6 的构造方法如下： 对上式乘以dt，可变为 正则变换成立的充要条件是： 变换式使得两个微分式 与 的差等于某个函数F( q, Q, t )的全微分。 正则变换( Canonical transformation ) 7 将上式改写成 比较各项的系数，可以得到如下变换关系 旧变量对 F 的关系 新变量对 F 的关系 新旧 H 函数关系 变换是否为正则变换依赖于任意函数F( q, Q, t )的选择，F称为母函数。 正则变换( Canonical transformation ) 8 母函数 F 如不含时间 t 时，有 H*=H 一般情况下，当给出了一组变换式以后，可根据微分式 来判别变换是否为正则的. 若给出一个母函数 F ，可由下式 得到一组正则变换。 在正则变换中，由于变换的广泛性，使得经过变换后的新变量可能不再具有原来物理意义上的“坐标”和“动量”了。 正则变换( Canonical transformation ) 9 母函数的各种形式 为了实现两组正则变量的变换，母函数 F 必须是包括两组变量的函数。由于 4k 个两组正则变量和时间 t 通过 2k 个变换关系联系着，所以其中只有 2k+1 个变量是独立的。母函数 F 在这 2k 个变量中要求两组变量各占一半，只含新变量或只含旧变量均不能使下式成立。 因此，母函数 F 所显含的变量在最简单的情况下有四种不同形式： F1( q , Q, t ), F2( p , Q, t ), F3( q , P , t ), F4( p , P, t ) 10 1) 母函数为F1( q , Q, t )，该形式已讨论过，有关结果为 2) 母函数为F2( p , Q, t ) 应用勒让德变换，在F1( q , Q, t )基础上，确定F2( p , Q, t )的变换关系 F1( q , Q, t ) 变量以 p 代替 q ；Q 保持不变，且有： ，于是取 F2( p , Q, t ) 母函数的各种形式 11 则有 得到 （ ，又由 得到） 将式 两边对 t 求导，可得