2023年九年级二次函数中考综合练习题

二次函数中考综合练习题 1、探索发现（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE； ②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），_______． 2、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．（1）当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；（2）证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；（3）在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由． 3、阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根、有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”．已知二次函数．（1）若，，且该二次函数的图象过点，求的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系中，该二次函数的图象与轴相交于不同的两点、，其中、，且该二次函数的图象的顶点在矩形的边上，其对称轴与轴、分别交于点、，与轴相交于点，且满足．①求关于的一元二次方程的根的判别式的值；②若，令，求的最小值． 4、已知二次函数的自变量的部分取值和对应函数值如下表： … 0 1 2 3 … … 4 3 0 … （1）求二次函数的表达式；（2）将二次函数的图像向右平移个单位，得到二次函数的图像，使得当时，随增大而增大；当时，随增大而减小，请写出一个符合条件的二次函数的表达式______，实数的取值范围是_______；（3）、、是二次函数的图像上互不重合的三点．已知点、的横坐标分别是、，点与点关于该函数图像的对称轴对称，求的度数． 5、如图，抛物线的图象经过点C，交x轴于点（点A在点B左侧），且连接，D是上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，，是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由． （3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，垂直于点F，使得中有一个锐角等于与的两倍？若存在，求点D得横坐标，若不存在，请说明理由． 6、若二次函数的图象经过点，，其对称轴为直线，与x轴的另一交点为C．（1）求二次函数的表达式；（2）若点M在直线上，且在第四象限，过点M作轴于点N．①若点N在线段上，且，求点M的坐标；②以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 7、抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．（1）直接写出A，两点的坐标；（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）． 8、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A，与y轴交于点C，线段轴，交该抛物线于另一点B．（1）求点B的坐标及直线的解析式：（2）当二次函数的自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，且．求m的值：（3）平移抛物线，使其顶点始终在直线上移动，当平移后的抛物线与射线BA只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点的横坐标为n，请直接写出n的取值范围． 9、某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1． （1）【基础训练】请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． （2）【技能训练】如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； （3）【能力提升】如图3所示，已知过抛物