2023年九年级数学中考专题复习—锐角三角函数及应用学案

锐角三角函数 · 方法技巧 1.直角三角形的边角关系（如图） （1）边的关系（勾股定理）：AC2+BC2=AB2； （2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900； （3）边角关系： ①： 锐角三角函数： ∠A的正弦=； ∠A的余弦= , ∠A的正切= 注：三角函数值是一个比值． 2.特殊角的三角函数值． 3.三角函数的关系 (1) 互为余角的三角函数关系． sin（90○－A）=cosA， cos（90○－A）=sin A tan（90○－A）= cotA cot（90○－A）=tanA (2) 同角的三角函数关系． ①平方关系：sin2 A+cos2A=l ②倒数关系：tanA×cotA=1 ③商数关系： 4.三角函数的大小比较 · 经典例题 例1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，点D在AC上， ∠BDC=60°，AD=l，求BD、DC的长． 例2.先化简，再求其值，其中x=tan45－cos30° 例3. 计算：①sin248○＋ sin242○－tan44○×tan45○×tan 46○ ②cos 255○＋ cos235○ 例4.比较大小（在空格处填写“＜”或“＞”或“=”） 若α=45○，则sinα________cosα； 若α＜45○，则sinα cosα； 若α＞45°，则 sinα cosα. 例5.⑴如图①、②锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的确定而确定，变化而变化，试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律； ⑵根据你探索到的规律，试比较18○、34○、50○、61○、88○这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小． · 课堂精练 1. 2sin60°－cos30°·tan45°的结果为（ ） A． D．0 2.在△ABC中，∠A为锐角，已知 cos(90°－A）=，sin(90°－B）=，则△ABC一定是（ ） A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．等腰三角形 3.如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，0)点B(0，－4),则cos∠OAB等于__________ 4.cos2α+sin242○ =1，则锐角α=______. 5.在下列不等式中，错误的是（ ） A.sin45○＞sin30○；B.cos60○＜oos30○；C.tan45○＞tan30○；D.cot30○＜cot60○ 6.如图，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（） 7.如图所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于 E点，EC=1，∠B=30°，求菱形ABCD的周长． 8.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AC=8 ，CD⊥AB， 求：①sin∠ACD 的值；②tan∠BCD的值 9.如图 ，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A/B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东32°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A山之间的距离是多少？（结果精确至1米．参考数据：sin32○≈0．5299，cos32○≈0．8480） 10.某住宅小区修了一个塔形建筑物AB，如图所示，在与建筑物底部同一水平线的C处，测得点A的仰角为45°，然后向塔方向前进8米到达D处，在D处测得点A的仰角为60°，求建筑物的高度．（精确0．1米） 解直角三角形的应用 · 方法技巧 1. 直角三角形边角关系． （1）三边关系：勾股定理： （2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B =∠C=90°． （3）边角关系tanA=，sinA=,cosA=， 2.解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形； （2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形； （3）已知两边解直角三角形． 3.解直角三角形的应用：关键是把实际问题转化为数学问题来解决 · 经典例题 例1.如图，点A是一个半径为300米的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，现在B、C两村庄之间修一条长为1000米的笔直公路将两村连通，经测得∠ABC＝45°，∠ACB=30°，问此公路是否会穿过森林公园？请通过计算进行说明． 例2. 雄伟壮观的“千年塔”屹立在海口市西海岸带状公园的“热带海洋世界”.在一次数学实践活动中，为了测量这座“千年塔”的高度，雯雯在离塔底139米的C处(C与塔底B在同一水平线上)，用高1.4米的测角