2022-2023学年高二物理竞赛课件：刚体定轴转动微分方程

　刚体定轴转动微分方程 2 对于一个定轴转动刚体 于是，得到刚体定轴转动微分方程 一、刚体定轴转动微分方程 　刚体定轴转动微分方程 代入质点系动量矩定理，有 FN1 FN2 x y z Fn F2 F1 2 3 特殊情况： 若　　　　　　　 ，则　　　　恒量，刚体作匀速转动或 保持静止。 若　　 常量，则 a =常量，刚体作匀变速转动。 　将　　　　　 与　　　 比较，刚体的转动惯量　 是刚 体转动惯性的度量。 解决两类问题： ① 已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。 ② 已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。 但不能求出轴承处的约束力，需用质心运动定理求解。 3 4 [例] 如图所示，已知滑轮半径为R，转动惯量为J，带动滑轮的皮带拉力为F1和F2 。求滑轮的角加速度a 。 解：由刚体定轴转动的微分方程 于是得 由上式可见，只有当定滑轮匀速转动（包括静止）或虽非匀速转动，但可忽略滑轮的转动惯量时，跨过定滑轮的皮带拉力才是相等的。 F1 F2 O R a 5 [例]如图，飞轮对转轴的转动惯量为J，以初角速度w0绕水平轴转动，其阻力矩 M＝－bw (b 为常数)。求经过多长时间，角速度降至初角速度的一半，在此时间内共转多少转? 解：以飞轮为研究对象，由刚体定轴转动的微分方程，有 M w0 将（1）式变换，有 将上式求定积分，得 6 即 将上式求定积分，得 转过的角度为 因此转过的转数 将 改写为 编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 7 [例] 如图所示，啮合齿轮各绕定轴O1、O2转动，其半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2，转动惯量分别为J1、J2，今在轮O1上作用一力矩M，求其角加速度。 　　解：分别以两轮为研究对象，受力如图，由刚体定轴转动的微分方程，有 由运动学关系，得 注意到 ，联立求解以上三式得 O1 r1 r2 O2 M FO1y FO1x Ft Fn m1g FO2y FO2x m2g O1 O2 F′ t F′ n M 8 O FOx FOy W=mg O FOy FOx W=mg 解除约束前： FOx=0, FOy=mg/2 突然解除约束瞬时： FOx=？,FOy=？ [例]关于突然解除约束问题 9 突然解除约束瞬时，杆OA将绕O轴转动，不再是静力学问题。这时，  0，  0。需要先求出 ，再确定约束力。 应用定轴转动微分方程 应用质心运动定理  O FOx FOy W=mg 10 [例] 长l，质量为m 的均质杆 AB 和 BC 用铰链 B 联接，并用铰链 A 固定，位于平衡位置。今在 C 端作用一水平力F，求此瞬时，两杆的角加速度。 解：分别以AB和BC为研究对象，受力如图。 AB和BC分别作定轴转动和平面运动。对AB由定轴转动的微分方程得 A B FAx FBx FBy aB W aAB C B A F FAy 11 BC作平面运动，取B为基点，则 将以上矢量式投影到水平方向，得 (4) 由(1) ~ (4)联立解得 对BC由刚体平面运动的微分方程得 (2) (3) B G C aBC F W aGx aGy atGB F'By F'Bx 12 O [例]平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板 与水平面间的动摩擦系数为f ，平板上放一质量为m2的均质 圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。 解：取圆柱分析， 于是得： F a C FN1 F1 m2g a aO a $