2022-2023学年高二物理竞赛课件：哈密顿正则方程

哈密顿正则方程 哈密顿正则方程 保守系统的情形 非保守系统的情形 2 保守系统的情形 1. Lagrange 变量与Hamilton 变量 Lagrange 函数： ； Lagrange 变量：变量qj， ，t 称为～，其中qj为广义坐标，j =1, 2, … ,k Hamilton 以广义动量 pj 代替广义速度 Hamilton 变量：变量qj ，pj ，t称为～，其中pj 为广义动量，j =1,2,…,k Hamilton 函数： 哈密顿正则方程( Hamilton canonical equation)：以Hamilton 函数H代替Lagrange函数，用2k个关于广义坐标 qj 和广义动量 pj 为变量的一阶常微分方程组，称为哈密顿正则方程或简称正则方程。 3 保守系统的情形 2．哈密顿正则方程的推导 利用勒让德变换把以( qj , , t )为变量的Lagrange函数L变换成以( qj, pj, t )为新变量的Hamilton函数 H 将Lagrange函数 代入Hamilton原理，即 对上式进行变分运算，得 4 将上式中的第一项改写成 则有 因为系统在始末位置是确定的，有 于是有 保守系统的情形 5 根据广义动量的定义 ，由勒让德变换可得 因此 对于完整系统，由于δqj 是相互独立的，且可取任何值，则 即得关于变量 的Hamilton正则方程 保守系统的情形 6 3. Lagrange函数和Hamilton函数的对比 Lagrange函数L和Hamilton函数H都可看作是系统的描述函数 Lagrange函数包含了位形空间中描述系统运动的全部特征； Hamilton函数包含了相空间中描述系统运动的全部特征。 Hamilton原理、Hamilton正则方程和Lagrange方程是互为等价的。 4. Hamilton函数的物理意义 为改写 中的第一项，将广义动量 代入，并利用欧拉齐次函数定理，有 （Euler齐次函数的意义 ） 保守系统的情形 7 因为 即 与广义能量积分对比，Hamilton函数 H 与广义能量积分意义相同。 对于保守系统，则 T=T2 , T0=0 ，因此 总机械能 对于保守系统，Hamilton函数H等于系统的总机械能。 5. 证明： 表明 H 的变化与系统的变化无关，仅与 H 是否显含 t 有关 保守系统的情形 8 非保守系统的情形 Hamilton原理一般式 其中主动力的虚功可写成 式中 和 分别表示有势力和非有势力的虚功。这样Hamilton原理可变为 将根据勒让德变换 得到的 代入上式，并进行变分运算，得 9 就可得到存在非有势力作用的Hamilton正则方程 其中Qj 为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。 非保守系统的情形 10 例1 试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动系统的运动微分方程 解：单自由度系统，x为广义坐标 构造H函数 对于保守系统 11 所以 消去px得： 整理得 12 $